jax.scipy.linalg.polar

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jax.scipy.linalg.polar#

jax.scipy.linalg.polar(a, side='right', *, method='qdwh', eps=None, max_iterations=None)[source]#

计算极分解。

给定一个 \(m \times n\) 矩阵 \(a\)，返回极分解的因子 \(u\)（也为 \(m \times n\)）和 \(p\)，使得 \(a = up\)（如果 side 为 "right"；\(p\) 为 \(n \times n\)）或 \(a = pu\)（如果 side 为 "left"；\(p\) 为 \(m \times m\)），其中 \(p\) 是半正定的。如果 \(a\) 是非奇异的，则 \(p\) 是正定的，并且分解是唯一的。除非 \(n > m\)，否则 \(u\) 的列是正交的，在这种情况下，它的行是正交的。

将 \(a\) 的 SVD 写成 \(a = u_\mathit{svd} \cdot s_\mathit{svd} \cdot v^h_\mathit{svd}\)，我们有 \(u = u_\mathit{svd} \cdot v^h_\mathit{svd}\)。因此，酉因子 \(u\) 可以构造为将符号函数应用于 \(a\) 的奇异值；或者，如果 \(a\) 是厄米特的，则为特征值。

存在几种计算极分解的方法。目前支持两种方法

  • method="svd":

    计算 \(a\) 的 SVD，然后形成 \(u = u_\mathit{svd} \cdot v^h_\mathit{svd}\)。

  • method="qdwh":

    应用 QDWH（基于 QR 的动态加权 Halley）算法。

参数：

  • a (ArrayLike) – \(m \times n\) 输入矩阵。

  • side (str) – 确定计算右极分解还是左极分解。如果 side 为 "right"，则 \(a = up\)。如果 side 为 "left"，则 \(a = pu\)。默认值为 "right"。

  • method (str) – 确定使用的算法，如上所述。

  • precision – 指定矩阵乘法精度的 Precision 对象。

  • eps (float | None) – 最终结果将满足 \(\left|x_k - x_{k-1}\right| < \left|x_k\right| (4\epsilon)^{\frac{1}{3}}\)，其中 \(x_k\) 是 QDWH 迭代。如果 method 不是 "qdwh"，则忽略。

  • max_iterations (int | None) – 即使上述条件不满足，迭代也将在此步数后终止。如果 method 不是 "qdwh"，则忽略。

返回：

一个 (unitary, posdef) 元组，其中 unitary 是酉因子（\(m \times n\)），posdef 是半正定因子。 posdef 是 \(n \times n\) 还是 \(m \times m\) 取决于 side 是否为 "right" 或 "left"。

返回类型：

tuple[Array, Array]

示例

3x3 矩阵的极分解

>>> a = jnp.array([[1., 2., 3.],
...                [5., 4., 2.],
...                [3., 2., 1.]])
>>> U, P = jax.scipy.linalg.polar(a)

U 是一个酉矩阵

>>> jnp.round(U.T @ U)
Array([[ 1., -0., -0.],
       [-0.,  1.,  0.],
       [-0.,  0.,  1.]], dtype=float32)

P 是一个半正定矩阵

>>> with jnp.printoptions(precision=2, suppress=True):
...     print(P)
[[4.79 3.25 1.23]
 [3.25 3.06 2.01]
 [1.23 2.01 2.91]]

可以通过将 U 和 P 相乘来重建原始矩阵

>>> a_reconstructed = U @ P
>>> jnp.allclose(a, a_reconstructed)
Array(True, dtype=bool)
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