jax.scipy.linalg.polar#

jax.scipy.linalg.polar(a, side='right', *, method='qdwh', eps=None, max_iterations=None)[源代码]#

计算极分解。

给定一个 \(m \times n\) 矩阵 \(a\)，返回极分解的因子 \(u\) (也是 \(m \times n\)) 和 \(p\)，使得 \(a = up\) (如果 side 是 "right"；\(p\) 是 \(n \times n\)) 或 \(a = pu\) (如果 side 是 "left"；\(p\) 是 \(m \times m\))，其中 \(p\) 是半正定矩阵。如果 \(a\) 是非奇异的，则 \(p\) 是正定矩阵，并且分解是唯一的。\(u\) 具有标准正交的列，除非 \(n > m\)，在这种情况下它具有标准正交的行。

将 \(a\) 的 SVD 写成 \(a = u_\mathit{svd} \cdot s_\mathit{svd} \cdot v^h_\mathit{svd}\)，我们有 \(u = u_\mathit{svd} \cdot v^h_\mathit{svd}\)。因此，酉因子 \(u\) 可以构造为对 \(a\) 的奇异值应用符号函数；或者，如果 \(a\) 是埃尔米特矩阵，则对特征值应用符号函数。

存在几种计算极分解的方法。目前支持两种：

  • method="svd":

    计算 \(a\) 的 SVD，然后形成 \(u = u_\mathit{svd} \cdot v^h_\mathit{svd}\)。

  • method="qdwh":

    应用 QDWH (基于 QR 的动态加权 Halley) 算法。

参数:

  • a (ArrayLike) – \(m \times n\) 输入矩阵。

  • side (str) – 确定是计算右极分解还是左极分解。如果 side 是 "right"，则 \(a = up\)。如果 side 是 "left"，则 \(a = pu\)。默认值为 "right"。

  • method (str) – 确定使用的算法，如上所述。

  • precision – Precision 对象，指定矩阵乘法的精度。

  • eps (float | None) – 最终结果将满足 \(\left|x_k - x_{k-1}\right| < \left|x_k\right| (4\epsilon)^{\frac{1}{3}}\)，其中 \(x_k\) 是 QDWH 迭代。如果 method 不是 "qdwh"，则忽略此参数。

  • max_iterations (int | None) – 即使不满足上述条件，迭代也会在此步骤后终止。如果 method 不是 "qdwh"，则忽略此参数。

返回:

一个 (unitary, posdef) 元组，其中 unitary 是酉因子 (\(m \times n\))，而 posdef 是半正定因子。posdef 是 \(n \times n\) 或 \(m \times m\)，具体取决于 side 是 "right" 还是 "left"。

返回类型:

tuple[Array, Array]

示例

一个 3x3 矩阵的极分解

>>> a = jnp.array([[1., 2., 3.],
...                [5., 4., 2.],
...                [3., 2., 1.]])
>>> U, P = jax.scipy.linalg.polar(a)

U 是一个酉矩阵

>>> jnp.round(U.T @ U)  
Array([[ 1., -0., -0.],
       [-0.,  1.,  0.],
       [-0.,  0.,  1.]], dtype=float32)

P 是半正定矩阵

>>> with jnp.printoptions(precision=2, suppress=True):
...     print(P)
[[4.79 3.25 1.23]
 [3.25 3.06 2.01]
 [1.23 2.01 2.91]]

原始矩阵可以通过将 U 和 P 相乘来重建

>>> a_reconstructed = U @ P
>>> jnp.allclose(a, a_reconstructed)
Array(True, dtype=bool)