JAX 内部机制：jaxpr 语言

JAX 内部机制：jaxpr 语言#

Jaxpr 是 JAX 程序的内部中间表示 (IR)。它们是显式类型的、函数式的、一阶的，并采用代数范式 (ANF)。

从概念上讲，可以将 JAX 变换（例如 jax.jit() 或 jax.grad()）视为首先对要转换的 Python 函数进行 trace 特化，将其转换为一个小的、行为良好的中间形式，然后使用特定于转换的解释规则进行解释。

JAX 能够在一个如此小的软件包中封装如此强大的功能的原因之一是，它从一个熟悉且灵活的编程接口（带有 NumPy 的 Python）开始，并且使用实际的 Python 解释器来完成大部分繁重的工作，从而将计算的本质提炼为一种具有有限高阶特性的简单静态类型表达式语言。

该语言是 jaxpr 语言。jaxpr 术语语法如下所示

jaxpr ::=
  { lambda <binder> , ... .
    let <eqn>
        ...
    in ( <atom> , ... ) }

binder ::= <var>:<array_type>
var ::= a | b | c | ...
atom ::= <var> | <literal>
literal ::= <int32> | <int64> | <float32> | <float64>

eqn ::= <binder> , ... = <primitive> [ <params> ] <atom> , ...

并非所有 Python 程序都可以通过这种方式进行处理，但事实证明，许多科学计算和机器学习程序都可以。

在继续之前，请记住，并非所有 JAX 变换都会按上述方式实际实例化 jaxpr。其中一些变换（例如微分或批量处理）将在 trace 期间逐步应用变换。尽管如此，如果想了解 JAX 的内部工作原理，或利用 JAX trace 的结果，理解 jaxpr 会很有帮助。

`jax.core.ClosedJaxpr`#

jaxpr 实例表示一个具有一个或多个类型化参数（输入变量）和一个或多个类型化结果的函数。结果仅取决于输入变量；没有从封闭作用域捕获的自由变量。输入和输出具有类型，在 JAX 中，这些类型表示为抽象值。

在 jaxpr 的代码中有两种相关的表示形式，jax.core.Jaxpr 和 jax.core.ClosedJaxpr。jax.core.ClosedJaxpr 表示一个部分应用的 jax.core.Jaxpr，并且是使用 jax.make_jaxpr() 来检查 jaxpr 时获得的结果。它具有以下字段

jaxpr：是一个 jax.core.Jaxpr，表示函数的实际计算内容（如下所述）。
consts 是一个常量列表。

ClosedJaxpr 中最有趣的部分是实际的执行内容，表示为一个 jax.core.Jaxpr，使用以下语法打印

jaxpr ::= { lambda Var* ; Var+.
            let Eqn*
            in  [Expr+] }

其中

jaxpr 的参数显示为两个变量列表，用 ; 分隔
- 第一组变量是为了表示已提升出来的常量而引入的。这些被称为 constvars，在 jax.core.ClosedJaxpr 中，consts 字段保存相应的值。
- 第二组变量，称为 invars，对应于已 trace 的 Python 函数的输入。
Eqn* 是一个方程列表，定义了引用中间表达式的中间变量。每个方程都将一个或多个变量定义为对某些原子表达式应用原语的结果。每个方程仅使用输入变量和先前方程定义的中间变量。
Expr+：是 jaxpr 的输出原子表达式（字面量或变量）列表。

方程打印如下

Eqn  ::= let Var+ = Primitive [ Param* ] Expr+

其中

Var+ 是一个或多个中间变量，定义为原语调用的输出（某些原语可以返回多个值）。
Expr+ 是一个或多个原子表达式，每个表达式都是一个变量或一个字面常量。特殊变量 unitvar 或字面量 unit（打印为 *）表示计算其余部分不需要的值，并且已被省略。也就是说，units 只是占位符。
Param* 是原语的零个或多个命名参数，以方括号打印。每个参数都显示为 Name = Value。

大多数 jaxpr 原语都是一阶的（它们只接受一个或多个 Expr 作为参数）

Primitive := add | sub | sin | mul | ...

最常见的 jaxpr 原语记录在 jax.lax 模块中。

例如，以下是为下面的函数 func1 生成的 jaxpr

from jax import make_jaxpr
import jax.numpy as jnp

def func1(first, second):
   temp = first + jnp.sin(second) * 3.
   return jnp.sum(temp)

print(make_jaxpr(func1)(jnp.zeros(8), jnp.ones(8)))

{ lambda ; a:f32[8] b:f32[8]. let
    c:f32[8] = sin b
    d:f32[8] = mul c 3.0
    e:f32[8] = add a d
    f:f32[] = reduce_sum[axes=(0,)] e
  in (f,) }

这里没有 constvars，a 和 b 是输入变量，它们分别对应于 first 和 second 函数参数。标量字面量 3.0 保留内联。reduce_sum 原语除了操作数 e 之外，还具有命名参数 axes 和 input_shape。

请注意，即使调用 JAX 的程序执行会构建一个 jaxpr，Python 级别的控制流和 Python 级别的函数也会正常执行。这意味着，仅仅因为 Python 程序包含函数和控制流，生成的 jaxpr 并不一定包含控制流或高阶特性。

例如，在 trace 函数 func3 时，JAX 将内联调用 inner 和条件 if second.shape[0] > 4，并将生成与之前相同的 jaxpr

def func2(inner, first, second):
  temp = first + inner(second) * 3.
  return jnp.sum(temp)

def inner(second):
  if second.shape[0] > 4:
    return jnp.sin(second)
  else:
    assert False

def func3(first, second):
  return func2(inner, first, second)

print(make_jaxpr(func3)(jnp.zeros(8), jnp.ones(8)))

{ lambda ; a:f32[8] b:f32[8]. let
    c:f32[8] = sin b
    d:f32[8] = mul c 3.0
    e:f32[8] = add a d
    f:f32[] = reduce_sum[axes=(0,)] e
  in (f,) }

处理 Pytrees#

在 jaxpr 中，没有元组类型；相反，原语接受多个输入并产生多个输出。当处理具有结构化输入或输出的函数时，JAX 会展平这些输入和输出，并且它们在 jaxpr 中将显示为输入和输出列表。有关更多详细信息，请参阅 Pytrees 教程。

例如，以下代码生成与您之前看到的相同的 jaxpr（有两个输入变量，每个输入元组元素一个）

def func4(arg):  # The `arg` is a pair.
  temp = arg[0] + jnp.sin(arg[1]) * 3.
  return jnp.sum(temp)

print(make_jaxpr(func4)((jnp.zeros(8), jnp.ones(8))))

{ lambda ; a:f32[8] b:f32[8]. let
    c:f32[8] = sin b
    d:f32[8] = mul c 3.0
    e:f32[8] = add a d
    f:f32[] = reduce_sum[axes=(0,)] e
  in (f,) }

常量变量 (vars)#

jaxpr 中的某些值是常量，因为它们的值不依赖于 jaxpr 的参数。当这些值是标量时，它们直接在 jaxpr 方程中表示。非标量数组常量则被提升到顶层 jaxpr，它们对应于常量变量（“constvars”）。这些 constvars 与其他 jaxpr 参数（“invars”）的不同之处仅在于记账约定。

高阶 JAX 原语#

Jaxpr 包括几个高阶 JAX 原语。它们更复杂，因为它们包括子 jaxpr。

`cond` 原语（条件）#

JAX 通过正常的 Python 条件进行 trace。要捕获动态执行的条件表达式，必须使用 jax.lax.switch() 和 jax.lax.cond() 构造函数，它们的签名如下

lax.switch(index: int, branches: Sequence[A -> B], operand: A) -> B

lax.cond(pred: bool, true_body: A -> B, false_body: A -> B, operand: A) -> B

两者都将在内部绑定一个名为 cond 的原语。jaxpr 中的 cond 原语反映了 lax.switch() 的更通用签名：它接受一个整数，表示要执行的分支的索引（限制在有效索引范围内）。

例如

from jax import lax

def one_of_three(index, arg):
  return lax.switch(index, [lambda x: x + 1.,
                            lambda x: x - 2.,
                            lambda x: x + 3.],
                    arg)

print(make_jaxpr(one_of_three)(1, 5.))

{ lambda ; a:i32[] b:f32[]. let
    c:i32[] = convert_element_type[new_dtype=int32 weak_type=False] a
    d:i32[] = clamp 0 c 2
    e:f32[] = cond[
      branches=(
        { lambda ; f:f32[]. let g:f32[] = add f 1.0 in (g,) }
        { lambda ; h:f32[]. let i:f32[] = sub h 2.0 in (i,) }
        { lambda ; j:f32[]. let k:f32[] = add j 3.0 in (k,) }
      )
    ] d b
  in (e,) }

cond 原语有许多参数

branches 是对应于分支函数对象的 jaxpr。在此示例中，这些函数对象每个都接受一个输入变量，对应于 x。
linear 是一个布尔值元组，由自动微分机制在内部使用，用于编码条件中线性使用哪些输入参数。

上面的 cond 原语实例接受两个操作数。第一个（d）是分支索引，然后 b 是操作数（arg），它将被传递给由分支索引选择的 branches 中的任何 jaxpr。

另一个示例，使用 jax.lax.cond()

from jax import lax

def func7(arg):
  return lax.cond(arg >= 0.,
                  lambda xtrue: xtrue + 3.,
                  lambda xfalse: xfalse - 3.,
                  arg)

print(make_jaxpr(func7)(5.))

{ lambda ; a:f32[]. let
    b:bool[] = ge a 0.0
    c:i32[] = convert_element_type[new_dtype=int32 weak_type=False] b
    d:f32[] = cond[
      branches=(
        { lambda ; e:f32[]. let f:f32[] = sub e 3.0 in (f,) }
        { lambda ; g:f32[]. let h:f32[] = add g 3.0 in (h,) }
      )
    ] c a
  in (d,) }

在这种情况下，布尔谓词被转换为整数索引（0 或 1），并且 branches 是对应于 false 和 true 分支函数对象的 jaxpr，按此顺序。同样，每个函数都接受一个输入变量，分别对应于 xfalse 和 xtrue。

以下示例显示了更复杂的情况，即分支函数对象的输入是一个元组，并且 false 分支函数对象包含一个常量 jnp.ones(1)，该常量被提升为 constvar。

def func8(arg1, arg2):  # Where `arg2` is a pair.
  return lax.cond(arg1 >= 0.,
                  lambda xtrue: xtrue[0],
                  lambda xfalse: jnp.array([1]) + xfalse[1],
                  arg2)

print(make_jaxpr(func8)(5., (jnp.zeros(1), 2.)))

{ lambda a:i32[1]; b:f32[] c:f32[1] d:f32[]. let
    e:bool[] = ge b 0.0
    f:i32[] = convert_element_type[new_dtype=int32 weak_type=False] e
    g:f32[1] = cond[
      branches=(
        { lambda ; h:i32[1] i:f32[1] j:f32[]. let
            k:f32[1] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=True] h
            l:f32[1] = add k j
          in (l,) }
        { lambda ; m_:i32[1] n:f32[1] o:f32[]. let  in (n,) }
      )
    ] f a c d
  in (g,) }

`while` 原语#

就像条件语句一样，Python 循环在跟踪过程中会被内联展开。如果你想捕获一个循环以进行动态执行，你必须使用一些特殊的运算，例如 jax.lax.while_loop() (一个原语) 和 jax.lax.fori_loop() (一个生成 while_loop 原语的辅助函数)。

lax.while_loop(cond_fun: (C -> bool), body_fun: (C -> C), init: C) -> C
lax.fori_loop(start: int, end: int, body: (int -> C -> C), init: C) -> C

在上面的签名中，C 代表循环 "carry" 值的类型。例如，这里有一个 fori_loop 的例子。

import numpy as np

def func10(arg, n):
  ones = jnp.ones(arg.shape)  # A constant.
  return lax.fori_loop(0, n,
                       lambda i, carry: carry + ones * 3. + arg,
                       arg + ones)

print(make_jaxpr(func10)(np.ones(16), 5))

{ lambda ; a:f32[16] b:i32[]. let
    c:f32[16] = broadcast_in_dim[
      broadcast_dimensions=()
      shape=(16,)
      sharding=None
    ] 1.0
    d:f32[16] = add a c
    _:i32[] _:i32[] e:f32[16] = while[
      body_jaxpr={ lambda ; f:f32[16] g:f32[16] h:i32[] i:i32[] j:f32[16]. let
          k:i32[] = add h 1
          l:f32[16] = mul f 3.0
          m:f32[16] = add j l
          n:f32[16] = add m g
        in (k, i, n) }
      body_nconsts=2
      cond_jaxpr={ lambda ; o:i32[] p:i32[] q:f32[16]. let
          r:bool[] = lt o p
        in (r,) }
      cond_nconsts=0
    ] c a 0 b d
  in (e,) }

while 原语接收 5 个参数：c a 0 b d，如下所示：

用于 cond_jaxpr 的 0 个常量 (因为 cond_nconsts 为 0)
用于 body_jaxpr 的 2 个常量 (c 和 a)
carry 初始值的 3 个参数

`scan` 原语#

JAX 支持一种特殊的循环形式，该循环遍历数组的元素（具有静态已知的形状）。存在固定数量的迭代次数使得这种循环形式容易进行反向微分。这种循环通过 jax.lax.scan() 函数构建。

lax.scan(body_fun: (C -> A -> (C, B)), init_carry: C, in_arr: Array[A]) -> (C, Array[B])

这是用 Haskell 类型签名编写的：C 是 scan carry 的类型，A 是输入数组的元素类型，而 B 是输出数组的元素类型。

对于示例，考虑下面的函数 func11

def func11(arr, extra):
  ones = jnp.ones(arr.shape)  #  A constant
  def body(carry, aelems):
    # carry: running dot-product of the two arrays
    # aelems: a pair with corresponding elements from the two arrays
    ae1, ae2 = aelems
    return (carry + ae1 * ae2 + extra, carry)
  return lax.scan(body, 0., (arr, ones))

print(make_jaxpr(func11)(np.ones(16), 5.))

{ lambda ; a:f32[16] b:f32[]. let
    c:f32[16] = broadcast_in_dim[
      broadcast_dimensions=()
      shape=(16,)
      sharding=None
    ] 1.0
    d:f32[] e:f32[16] = scan[
      _split_transpose=False
      jaxpr={ lambda ; f:f32[] g:f32[] h:f32[] i:f32[]. let
          j:f32[] = mul h i
          k:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] g
          l:f32[] = add k j
          m:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] f
          n:f32[] = add l m
        in (n, g) }
      length=16
      linear=(False, False, False, False)
      num_carry=1
      num_consts=1
      reverse=False
      unroll=1
    ] b 0.0 a c
  in (d, e) }

linear 参数描述了对于每个输入变量，是否保证在主体中线性使用。一旦 scan 完成线性化，将会有更多参数是线性的。

scan 原语接收 4 个参数：b 0.0 a c，其中：

一个是主体的自由变量
一个是 carry 的初始值
接下来的两个是 scan 操作的数组

`(p)jit` 原语#

调用原语来自 JIT 编译，它封装了一个子 jaxpr，以及指定计算应该运行的后端和设备的参数。例如

from jax import jit

def func12(arg):
  @jit
  def inner(x):
    return x + arg * jnp.ones(1)  # Include a constant in the inner function.
  return arg + inner(arg - 2.)

print(make_jaxpr(func12)(1.))

{ lambda ; a:f32[]. let
    b:f32[] = sub a 2.0
    c:f32[1] = pjit[
      name=inner
      jaxpr={ lambda ; d:f32[] e:f32[]. let
          f:f32[1] = broadcast_in_dim[
            broadcast_dimensions=()
            shape=(1,)
            sharding=None
          ] 1.0
          g:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] d
          h:f32[1] = mul g f
          i:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] e
          j:f32[1] = add i h
        in (j,) }
    ] a b
    k:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] a
    l:f32[1] = add k c
  in (l,) }

JAX 内部机制：jaxpr 语言

目录

JAX 内部机制：jaxpr 语言#

jax.core.ClosedJaxpr#

处理 Pytrees#

常量变量 (vars)#

高阶 JAX 原语#

cond 原语（条件）#

while 原语#

scan 原语#

(p)jit 原语#

`jax.core.ClosedJaxpr`#

`cond` 原语（条件）#

`while` 原语#

`scan` 原语#

`(p)jit` 原语#