高效转置复制诱导集合运算

高效转置复制诱导集合运算#

mattjj@, dougalm@

2023 年 8 月

动机#

我们在自动转置包含某些集合运算的 shmap 时存在效率问题。该问题出现在 psum 和 all_gather 中，特别是当集合运算的输出作为未映射的输出返回给调用者时。这不是一个边缘情况：例如，当将 grad 应用于基于 shmap 的批数据并行神经网络损失函数时就会出现这种情况，该函数使用 psum 来计算总损失。

我们已经知道这个问题一段时间了。 pmap 也存在类似的问题，但通过将 grad 保留在 pmap 内部而不是外部来解决。不完整的带有名称的 avals 工作的主要目标是解决这个转置效率问题的某个版本。本文借鉴了这些想法，同时进行了扩展和修订，以处理更多情况，并且更容易实现。事实上，这里提出的解决方案只会影响 shmap 的实现。系统的其余部分不需要更改（目前）。

本文档的主要目的是定义这个转置效率问题，并提出一个易于实现的解决方案。

本文档不是关于

数组上的逻辑轴名称（这里的轴名称与 shmap 和原始 pmap 中的轴名称相同）；
更改自动微分语义（所有的数字和（非）错误都保持不变，我们只是让事情更有效率）；
允许用户代码反映任何新信息，或者说，根本不影响用户代码。

问题：`psum` 或 `all_gather` 的高效转置取决于余切是否在设备之间不变#

考虑这个半真实的例子，旨在类似于复制参数的批次数据并行损失函数

devices = jax.devices()  # 8 devices

@partial(shmap, mesh=Mesh(devices, ('batch',)),
         in_specs=(P(None, None), P('batch', None)),
         out_specs=P())
def loss(params, batch):
  inputs, targets = batch
  predictions = predict(params, inputs)
  local_loss = jnp.mean(jnp.sum(predictions - targets, -1))
  global_loss = lax.pmean(local_loss, 'batch'))
  return global_loss

请注意 out_specs=P()，它表示一个未映射的输出。如果您不熟悉未映射输出的概念，请参阅本文档底部的附录。

loss 示例中的大多数细节并不重要。对我们来说，重要的是我们在最后应用 psum（或者更确切地说是 pmean = lambda x, name: psum(x, name) / psum(1, name)）。因此，精简版本如下所示

# Example 1: shmap involving psum and unmapped output with inefficient transpose
f1 = shmap(lambda x: psum(g(x), 'i'),
           in_specs=P('i'), out_specs=P())

我们甚至通过抑制 mesh 参数来简化了符号。在下面的示例中，可以从上下文中推断出来。

转置是什么样的？用 t 表示函数转置，我们可以通过应用下面的函数 ¿f1_transpose? 来有效地计算任意 ybar 的 t(f1)(ybar)

# An efficient "transpose" of Example 1 (but don't transpose this again!)
¿f1_transpose? = shmap(t(g), in_specs=P(), out_specs=P('i'))

但这并不是我们当前得到的 t(f1) 的转置。

相反，当前的转置方法大致是，我们交换 in_specs 和 out_specs，对未映射的输出进行一些除法缩放，并转置主体。因为 psum 是它自己的转置（作为 all-reduce 求和），所以我们最终会产生这个转置

# The transpose we currently get for Example 1 (which is fine to transpose again)
t(f1) = shmap(lambda ybar: t(g)(psum(ybar / 8, 'i')),
              in_specs=P(), out_specs=P('i'))

此转置得到的数字是正确的，但很浪费。我们从转置的 in_specs=P() 中静态地知道 ybar 对于每个函数实例都具有相同的值，即对于沿名为 i 的网格轴的设备，其值是不变的，但我们仍然对其应用 psum！这使用了昂贵的通信，只是为了将每个设备上的值乘以 8。（这里的 8 指的是轴 i 的大小。除以 8 来自原始函数的 out_specs=P()；它和简单的 psum 基本上相互抵消了。）

我们哪里做错了？我们没有利用与 f1 的未映射输出相对应的余切 ybar 保证是设备不变的事实；相反，我们防御性地对它们进行 psum，就好像它们不是设备不变的，因为 psum 的转置无法根据其拥有的本地信息来确定。有时 psum 是必要的，例如转置 f2 关于其第一个参数

# Example 2: shmap involving psum and *mapped* output with efficient transpose
f2 = shmap(lambda x, y: psum(g(x), 'i') * y,
          in_specs=(P('i'), P('i')), out_specs=P('i'))

# The transpose we currently get for Example 2 is efficient
t(f2, 0) = shmap(lambda y, zbar: t(g)(psum(zbar * y, 'i')),
                in_specs=(P('i'), P('i')), out_specs=P('i'))

直观地说，如果我们的转置机制可以区分示例 1 和示例 2，我们可以通过尽可能避免 psum 和除法来做得更好。

低效的示例可以更小。考虑转置这个被诅咒的恒等函数

# Example 3: cursed identity
cursed_identity = shmap(lambda x: x, P(), P())

# Currently we get these inefficient transposes
t(cursed_identity) = shmap(lambda x: psum(x / 8, 'i'), P(), P())
t(t(cursed_identity)) = shmap(lambda x: psum(psum(x / 8 / 8, 'i'), 'i')), P(), P())
...

我们转置得越多，它就变得越大。真令人尴尬！

而且 psum 不是唯一的罪魁祸首。对于 all_gather，也存在类似的情况

# Example 4: all_gather to an unmapped output
f4 = shmap(lambda x: all_gather(x, 'i'), P('i'), P())

# Currently we get this inefficient transpose
t(f4) = shmap(lambda ybar: psum_scatter(ybar / 8, 'i'), P(), P('i'))

这个程序有点人为。为什么要做一个 all_gather 并将结果输入到未映射的输出中，而不是跳过主体中的 all_gather，而只使用 out_specs=P('i') 来收集结果？但即使它是人为的，这个例子仍然展示了一个不必要地执行通信的转置（我们可以只执行一个非通信的切片），类似于 psum 的示例 1。

同样类似于 psum 的例子，防御性的 psum_scatter 在某些情况下是必要的

# Example 5: all_gather to a mapped output
f5 = shmap(lambda x, y: all_gather(x, 'i') * y,
           in_specs=(P('i'), P('i')), out_specs=P('i'))

# Currently we get this efficient transpose
t(f5, 0) = shmap(lambda y, zbar: psum_scatter(zbar * y, 'i'),
                 in_specs=(P('i'), P('i')), out_specs=P('i'))

那么我们如何避免这些低效的转置呢？

解决方案#

这里有两个解决方案的想法。它们不是互斥的。但是（剧透）第二个更好，而且它是我们所需要的全部。

部分解决方案“P-sum”：构建将 `psum` 表示为 `out_specs` 的能力#

这个解决方案有点稻草人，因为它只会提供一种笨拙的编写程序的方式。而且它甚至无法解决所有问题！但值得考虑，哪怕只是为了激发更完整的解决方案。

上面的示例 4 是人为的，因为我们可以只使用 out_specs 而不是主体中的 all_gather

# Example 4 again
f4 = shmap(lambda x: all_gather(x, 'i'), P('i'), P())

# Why didn't we just write it like this?
f4_better = shmap(lambda x: x, P('i'), P('i'))

f4_better 版本没有任何转置问题，因为转置问题来自主体中的集合运算。

类似地，我们可以通过扩展 out_specs 使它们可以表示求和来修复示例 1

# Example 1 again
f1 = shmap(lambda x: psum(g(x), 'i'),
           in_specs=P('i'), out_specs=P())

# What if we could write an output sum like this?
f1_better = shmap(g, in_specs=P('i'), out_specs=P(sum='i'))  # sum='i' means sum over that axis

# Then it could transpose like this:
t(f1_better) = shmap(t(g), in_specs=P(), out_specs=P('i'))
t(t(f1_better)) = shmap(t(t(g)), in_specs=P('i'), P(sum='i'))

因此，提供构建在 out_specs 中的 psum 可以修复示例 1 的转置问题。但它并没有完全修复示例 3 中被诅咒的恒等转置

# Example 3 again
cursed_identity = shmap(lambda x: x, P(), P())

# How it would transpose with the P-sum partial solution:
t(cursed_identity) = shmap(lambda x: x / 8, P(), P(sum='i'))
t(t(cursed_identity)) = shmap(lambda x: x / 8, P(), P(sum='i'))

这是一个改进，因为程序不会随着我们不断转置而变得越来越大，但我们仍然在进行浪费的通信。

完整解决方案：静态跟踪设备变化的中间变量与设备不变的中间变量，以及新的原语#

此解决方案有两个组成部分

跟踪值在特定网格轴上保证是设备不变的还是设备变化的，以及
将 psum 分解为两步过程，引入新的 pbroadcast 原语，并为 all_gather 及其转置引入新的原语。

从本质上讲，跟踪设备不变与设备变化信息是一种类型级别的考虑。但为了我们第一次实现的方便起见，我们不需要真正将信息添加到抽象值或 jaxpr 类型中。在我们开始实现之前，我们将首先使用类型介绍这个想法。

接下来还将讨论如何使用户 API 方便且向后兼容。但是，为了首先介绍这个想法，我们将忽略便利性，而是编写尽可能显式的代码。

在 avals 中跟踪设备不变性（又名带有名称的 avals，复活）#

我们有时可以仅从静态信息中判断，shmap 主体中某些中间变量的值在网格轴上保证是不变的，在这种意义上，沿着网格轴的函数实例（及其对应的设备）必须全部使用相同的值进行计算。我们将此类值称为设备不变。对于不是设备不变的值，我们说它们是设备变化的，尽管实际上我们指的是从类型系统的角度来看，它们可能是设备变化的。

为了在类型中编码设备变化，我们将扩展数组类型的语法。我们将编写类似于 x:f32[3,4]{i} 的内容，以指示 x （可能）沿着网格轴 i 是设备变化的（并且在 shmap 的任何其他网格轴上是设备不变的）。更一般地说，我们会说数组类型语法的语法类似于

shaped_array ::= <dtype>[<int_literal>, ...]<device_variance_type>
device_variance_type ::= {<axis_name>, ...}

我们还将更新类型规则以处理设备方差类型

对于除集合之外的一阶原语
- 对于多参数原语，操作数设备方差类型必须相等，其中形状必须相等，例如 mul x:f32[s1]{r1} y:f32[s2][r2] 除了 s1 == s2 之外，还需要 r1 == r2
- 输出设备方差类型必须与操作数相同
对于高阶原语
- 我们只是实例化任何类型变量，包括设备方差类型（并且检查类型相等性会检查它们的设备方差类型是否相等）
- （当执行类型推断时，例如，对于 cond 的分支，我们取设备方差类型中轴名称集合的并集）
对于一阶集合
- 集合可以接受设备变化的输入或设备不变的输入（沿着与其轴名称参数对应的网格轴）；将设备不变的操作数传递给接受设备变化操作数的集合，反之亦然，则会出错
- 集合可以产生设备变化的输出或设备不变的输出
- 请参阅下表。作为额外的好处，无论什么逻辑实现此类型检查，都可以取代 shmap 的“静态分析”检查 shmap 主体函数是否与任何未映射的 out_specs 兼容。

以下是总结集合原语的设备方差类型的表格

名称	设备方差类型	示例	降低为 HLO	转置
`psum2`	`变化 -> 不变`	`y:f32[3]{j} = psum(x:f32[3]{i,j}, axis='i')`	`AllReduceSum` (通信)	`pbroadcast`
`pbroadcast`	`不变 -> 变化`	`y:f32[3]{i} = pbroadcast(x:f32[3], 'i')`	空操作 (无通信)	`psum`
`all_to_all`	`变化 -> 变化`	`y:f32[16]{i} = all_to_all(x:f32[16]{i}, 'i', 0, 0)` `AllToAll` (通信)	`all_to_all`
`axis_index`	`() -> 变化`	`idx:i32[]{i} = axis_index('i')`	`ReplicaId` 和一些算术运算 (无通信)	不适用
`psum_scatter`	`变化 -> 变化`	`y:f32[2]{i} = psum_scatter(x:f32[16]{i}, 'i')`	`ReduceScatterSum` (通信)	`all_gather`
`all_gather`	`变化 -> 变化`	`y:f32[16]{i} = all_gather(x:f32[2]{i}, 'i')`	`AllGather` (通信)	`psum_scatter`
`pscatter`	`不变 -> 变化`	`y:f32[2]{i} = pscatter(x:f32[16], 'i')`	`lambda x: x[axis_index('i'), None]` (无通信)	`all_gather_invariant`
`all_gather_invariant`	`变化 -> 不变`	`y:f32[16] = all_gather_invariant(x:f32[2]{i}, 'i')`	`AllGather` (通信)	`pscatter`

这里有一些令人惊讶的事情！

我们引入了几个新的原语，包括
- pbroadcast，有趣的是，它降低为一个空操作
- all_gather_invariant，它降低为与 all_gather 相同的东西，但具有不同的设备方差类型（本质上 all_gather 融合了一个 pbroadcast，而 all_gather_invariant 则没有）
- pscatter，它是 all_gather_invariant 的对偶（转置）
all_gather 具有设备可变的结果

直观地说，引入 pbroadcast 的原因（除了使类型规则起作用之外）是为了使 psum 可以转置为一个物理上的空操作。我们需要 all_gather 具有设备可变的结果的原因是为了我们可以将其转置为 psum_scatter；如果我们将其保留为设备不变的结果，我们可能需要在下游进行 pbroadcast，并且该组合将转置为低效的 psum，后跟切片 / pscatter。因此，我们有一个“融合到” all_gather 中的 pbroadcast，从而允许高效地转置为 psum_scatter。我们提供 all_gather_invariant 及其转置 pscatter 主要是为了完整性；用户不太可能需要它（它对应于示例 4 中的情况，使用 out_specs 可以轻松地编写不同的代码）。

有趣的是，psum 和 pbroadcast 转置对对应于用户在使用 pmap 训练 LLM 时引入的 psum_idrev 和 id_psumrev。

此系统如何解决低效的转置示例#

再次考虑简化的动机示例

# Example 1 again
f1 = shmap(lambda x: psum(g(x), 'i'),
           in_specs=P('i'), out_specs=P())

# Example 1 with intermediate device variance types annotated
@partial(shmap, in_specs=P('i'), out_specs=P())
def f1(x: f32[3,4]{i}):
  w:f32[]{i} = g(x)
  y:f32[]{} = psum(w, 'i')
  return y

使用这些新规则，转置是

# Example 1 transpose using device variance types (go ahead and transpose this again!)
t(f1) = shmap(lambda ybar: t(g)(pbroadcast(ybar, 'i')),
              in_specs=P(), out_specs=P('i'))

# Example 1 transpose with intermediate device variance types annotated
@partial(shmap, in_specs=P('i'), out_specs=P())
def f1_transpose(ybar: f32[]):
  wbar:f32[]{i} = pbroadcast(ybar, 'i')
  xbar:f32[3,4]{i} = transpose(g)(wbar)
  return xbar

其中评估 pbroadcast 应用程序根本不涉及通信或 FLOP；它是一个空操作。请注意，如果我们保持转置，则主体不会增大；实际上 t(t(f1)) == f1。实现了效率！

只要我们 pbroadcast 以使类型在需要时进行检查，我们也不会搞砸其他示例

# Example 2 rewritten with explicit pbroadcast
f2 = shmap(lambda x, y: pbroadcast(psum(g(x), 'i'), 'i') * y,
           in_specs=(P('i'), P('i')), out_specs=P('i'))

# Example 2 transpose using device variance types
t(f2, 0) = shmap(lambda y, zbar: t(g)(pbroadcast(psum(zbar * y, 'i'), 'i')),
                 in_specs=(P('i'), P('i')), out_specs=P('i'))


# Example 3 again
cursed_identity = shmap(lambda x: x, P(), P())
# Notice here the body is `f32[...] -> f32[...]`, i.e. no device varying type.

# Example 3 transpose using device variance types
t(cursed_identity) = shmap(lambda x: x, P(), P())
t(t(cursed_identity)) = shmap(lambda x: x, P(), P())

直观地说，在示例 1 中，我们现在只有“原始 psum 的一半”，而在示例 2 中，我们得到“两半”。对于示例 3，我们根本不需要主体中的任何操作。

对于 all_gather 示例，示例 4 需要使用 all_reduce_invariant 才能进行高效的转置（尽管最好在主体中使用 out_specs 而不是集合）

# Example 4 rewritten with explicit all_reduce_invariant
f4 = shmap(lambda x: all_gather_invariant(x, 'i'), P('i'), P())

# Example 4 with intermediate device variance types annotated
@partial(shmap, P('i'), P())
def f4(x:f32[1]{i}):
  y:f32[8]{} = all_gather_invariant(x, 'i')
  return y

# Example 4 transpose with intermediate device variance types annotated
@partial(shmap, in_specs=P(), out_specs=P('i'))
def f4_transpose(ybar:f32[8]):
  xbar:f32[1]{i} = pscatter(ybar, 'i')
  return xbar

对于示例 5，使用设备变化的 all_gather 可以按照我们期望的方式工作

# Example 5 with intermediate device variance types annotated
@partial(shmap, in_specs=(P('i'), P('i')), out_specs=P('i'))
def f5(x:f32[1]{i}, y:f32[8]{i}):
  z:f32[8]{i} = all_gather(x, 'i')
  w:f32[8]{i} = z * y
  return w

# Transpose with respect to first argument
@partial(shmap, in_specs=(P('i'), P('i')), out_specs=P('i'))
def f5_transpose(y:f32[8]{i}, wbar:f32[8]{i}):
  zbar:f32[8]{i} = wbar * y
  xbar:f32[1]{i} = psum_scatter(zbar, 'i')
  return xbar

如何使 API 对用户方便（并且向后兼容）#

但是哪个用户想编写 pbroadcast？哪个开发人员想破坏大量涉及未馈入未映射输出的 psum 的现有用户代码？不是我！

相反，我们可以自动插入 pbroadcast。这有点类似于我们在 jax.numpy 层执行自动秩提升的方式，插入广播以避免二元运算符中的秩不匹配错误。但这要简单得多，因为我们不需要处理形状元组。典型的规则是：每当我们看到操作数的设备方差类型不一致的多参数运算时，取操作数的设备方差类型的轴名称集合的并集，并插入 pbroadcast 以将每个操作数提升到生成的设备方差类型。

在需要之前自动插入 pbroadcast 可能意味着我们会将相同的 pbroadcast 应用于同一个操作数多次，从而创建公共子表达式。当我们转置时，这些可能会变成求和的 psum，而不是求和的 psum。我们将依靠编译器来酌情清理。如果这是一个问题，那么我们可以在 pbroadcast 插入通道中添加一些简单的备忘录。

all_gather 的用户 API 将默认表示 all_gather_p （而不是 all_gather_invariant_p），涵盖常见情况，这意味着无需插入 pbroadcast。

我们可以在 shmap 上提供一个选项来禁用自动插入 pbroadcast，在这种情况下，将由用户来确保类型正确性。对于某些希望明确 psum 出现在反向传递中的人来说，此显式选项可能很有吸引力。

如何实现解决方案#

实现轻量级的关键在于我们不会将这些类型添加到 avals 或 jaxprs 中。至少，一开始不会。这样做可能会很昂贵，因为它需要更新 JAX 的其余部分，例如，avals 和 jaxprs 的所有使用者可能都需要处理新的类型。我们不会再犯同样的错误了！

相反，我们将把这些扩展类型保留为 shmap 内部的元数据，就像目前 “out_specs 的复制检查” 机制是 shmap 内部的一样。事实上，这个解决方案相当于对现有机制进行一个相对小的扩展：它已经在跟踪相同的信息；现在我们只是添加了 pbroadcast。

我们至少有两种选择来执行 pbroadcast 的插入

刚好在转置之前，在转置规则中，我们有一个要转置的计算的 jaxpr；
在每个 shmap 的主体中，无论是立即执行还是分阶段执行，就像当前的 “out_specs 的复制检查” 机制一样。前者可能更容易，因为我们只需要处理 jaxpr 的情况，并且只需要处理线性原语。但我们将首先尝试后者，因此这里的实现是对现有复制检查逻辑的严格修订/扩展。

附录：定义和激励带有未映射输入和输出的映射#

为了具体起见，我们将主要关注 shmap，尽管这些相同的想法也适用于例如 pmap 和可能 xmap。

当 in_specs 的相应条目没有提及该网格轴的名称时，一个参数/输入沿着网格轴是未映射的。逻辑上，这意味着沿着该网格轴的每个函数实例都获得相同的参数值。对于调用者，每个操作数都根据操作数映射到的网格轴进行切片，而对于操作数未映射到的网格轴则没有切片。

当 out_specs 的相应条目没有提及该网格轴的名称时，一个输出沿着网格轴是未映射的。逻辑上，这意味着沿着该网格轴的每个函数实例必须返回相同的值。对于调用者，shmap 的每个结果都是通过连接每个函数实例的返回值形成的，这些返回值沿着输出映射的轴，而对于输出未映射的网格轴，只使用值的单个副本。

有关未映射输入和输出的示例，请参阅shmap JEP。作为比较，在 vmap 中，未映射的输入/输出通过使用 in_axes / out_axes 的 None （而不是 int）来表示。

以下是我们喜欢 shmap 的未映射输入和输出的原因

与 pjit 相同的表达能力。 pjit 可以做的任何事情，shmap 的逃生舱口也应该能够做到。否则我们就会有一个不足的逃生舱口！如果我们在 shmap 中没有未映射的输出，那么我们就无法表达与 pjit 相同的批并行损失函数计算。
闭包输入。 闭包输入本质上对应于未映射的输入，并且…
转置下的闭包。 一旦我们有了未映射的输入，自然就可以转置到未映射的输出。

因此，未映射的输出既是规范的，又是非常有用的！