JAX 可变换函数的自定义 JVP/VJP 规则

JAX 可变换函数的自定义 JVP/VJP 规则#

这是一份设计文档，解释了 jax.custom_jvp 和 jax.custom_vjp 设计和实现背后的某些想法。有关面向用户的文档，请参阅教程笔记本。

JAX 中有两种方法可以定义微分规则

  1. 使用 jax.custom_jvp 和 jax.custom_vjp 为已可 JAX 变换的 Python 函数定义自定义微分规则；以及

  2. 定义新的 core.Primitive 实例及其所有变换规则，例如调用来自其他系统（如求解器、模拟器或通用数值计算系统）的函数。

本文档仅针对 #1。

内容#

目标#

我们希望 **用户** 自定义其代码的前向和/或反向模式微分行为。此自定义

  1. 应该具有清晰一致的语义，说明其工作原理以及如何与其他 JAX 变换组合；以及

  2. 应该在支持用例和工作流方面灵活，就像在 Autograd 和 PyTorch 中一样，包括涉及 Python 控制流微分和用于 NaN 调试的工作流。

作为JAX 开发人员，我们希望编写库函数，例如 logit 和 expit，这些函数是由其他基本运算定义的，但为了微分的目的，它们具有类似基本运算的行为，也就是说我们希望为它们定义自定义微分规则，这些规则可能在数值上更稳定或性能更高。特别地，我们不想为像 logit 和 expit 这样的函数指定 vmap 或 jit 规则。

作为一个扩展目标，我们希望使 JAX 成为一个伟大的环境，供希望为高阶函数（例如 fixed_point、odeint 等）添加自定义微分规则的强大用户使用。本设计文档不会解决这个问题，但我们希望确信自己不会阻止对该问题的良好解决方案。

也就是说，我们的主要目标是

  1. 解决 vmap 移除自定义 jvp 语义问题 (#1249)，以及

  2. 允许自定义 VJP 中使用 Python，例如调试 NaN (#1275)。

次要目标是 3. 清理和简化用户体验（符号零、关键字参数等） 4. 向用户可以轻松添加 fixed_point、odeint、root 等的世界迈进。

总的来说，我们希望关闭 #116、#1097、#1249、#1275、#1366、#1723、#1670、#1875、#1938，并替换 custom_transforms 机制（来自 #636、#818 以及其他）。

非目标#

以下是我们不打算实现的目标

  1. custom_transforms 机制旨在为自定义行为提供一种转换通用的机制，原则上（尽管在实践中从未真正使用过）允许用户为任何转换自定义规则，同时以某种方式继承其他转换的“透明”行为。我们将只解决微分（JVP 和 VJP，分别）的自定义问题。 微分是唯一实际请求的案例，通过专门针对微分，我们可以降低复杂性并提高灵活性。要控制所有规则，可以简单地编写一个基本运算。

  2. 我们不会优先考虑数学美学，而会优先考虑用户端的灵活性、清晰度和实现端的简洁性。特别是，虽然自定义 VJP 签名 a -> (b, CT b --o CT a) 在数学上很美观，但如果由于返回值类型中的闭包，它难以在 Python 机制中实现，我们很乐意做一些更明确地处理残差的事情。

  3. 序列化支持，即允许用户将阶段化后的序列化程序表示加载并进一步 JAX 转换，而不是仅仅评估，目前不属于这些自定义 JVP/VJP 转换规则的范围。序列化不仅可能对希望保存其计算表示（并在加载后对其进行转换）的研究人员有用，而且对未来的考虑也很有用，例如在 Python 之外实现 jaxpr 转换，或将 jaxprs 作为 MLIR 方言。通过将此定义为本设计目的的非目标，我们对可以存储 Python 可调用的位置有了更少的限制。

主要问题描述#

vmap 移除自定义 jvp 语义问题#

vmap 移除自定义 jvp 语义问题是指 vmap 与具有 custom_transforms 规则的函数的微分不能很好地组合

# old custom_transforms api to be replaced
@jax.custom_transforms
def f(x):
  return 2. * x

# f_vjp :: a -> (b, CT b --o CT a)
def f_vjp(x):
  return f(x), lambda g: 3. * x  # 3 instead of 2

jax.defvjp_all(f, f_vjp)

grad(f)(1.)  # 3.
vmap(grad(f))(np.ones(4))  # [3., 3., 3., 3.]
grad(lambda x: vmap(f)(x).sum())(np.ones(4))  # [2., 2., 2., 2.]

最后一行 vmap 的梯度结果出乎意料！通常，应用 vmap 或任何非微分转换，都会删除自定义微分规则。（当定义了自定义 VJP 规则时，应用 jvp 会导致失败。）

该问题的存在是因为转换类似于重写，而 vmap 转换实际上重写了该函数，使其不再调用新引入的基本运算，而该基本运算存在自定义规则（因此 grad 不会产生自定义规则的结果）。更详细地说，custom_transforms 机制设置了以下内容，以便评估 f(x) 会应用以下函数

{ lambda  ; ; a.
  let b = f_primitive a
  in [b] }

其中 f_primitive 是一个新的基本运算（为每个 custom_transforms 函数引入，实际上为该函数的每次调用引入），自定义 VJP 规则与此基本运算相关联。当我们评估 grad(f)(x) 时，微分机制会遇到 f_primitive 并使用自定义规则对其进行处理。

然而，由于 f_primitive 对 vmap 透明，也就是说 vmap 通过（实际上是通过内联）操作 f_primitive 的定义，函数 vmap(f) 实际上是

{ lambda  ; ; a.
  let b = mul 2. a
  in [b] }

换句话说，vmap 使用其底层基本运算及其转换规则来重写函数，完全删除了 f_primitive。

更一般地说，由于 vmap(f) 的语义是根据对 f 的调用定义的，所以删除自定义导数规则在语义上是不一致的。也就是说，因为我们定义

vmap(f)(xs) == np.stack([f(x) for x in xs])

我们必须有

jvp(vmap(f))(xs) == jvp(lambda xs: np.stack([f(x) for x in xs]))

但是，当 f 定义了自定义导数规则时，这个属性没有被观察到，因为在右边的版本中使用了自定义导数规则，而在左边的版本中没有使用。

这个问题并非特定于 vmap；它适用于所有转换，其中转换函数 f 的语义是根据对该函数 f 的调用定义的，而不是将其重写为另一个函数。 mask 转换也属于此类。微分转换和假设的所有一元函数变为余弦的转换不属于此类。

（自定义规则之间的交互，例如自定义 vmap 规则，可能会变得更加复杂，这表明 custom_transforms 的问题框架过于宽泛。）

Python 灵活性问题#

在 JAX 中，与 Autograd 和 PyTorch 相同，但与 TF1 不同，Python 函数的微分是在执行和追踪函数时执行的。这种行为让用户喜欢，原因有以下几点。

首先，也是最重要的是，它支持基于 pdb 的工作流程，例如检查数值或捕获 NaN。 也就是说，用户可以采用标准的 Python 调试器和其他 Python 原生的工具来调试代码，甚至可以检查运行时值，以便了解示例中的数值行为，并捕获诸如 NaN 之类的根本运行时错误。事实上，仅当我在与本设计相关的 PR 上工作时，特别是在 odeint 基本运算上工作时，我多次使用运行时值检查来调试问题，这让我更加确信这是一个 Python 中的关键用户工作流程。我多次在 JAX 和 Autograd 中使用的一个特别方便的技巧是，可以在自定义 VJP 规则中插入一个调试器断点，以便在反向传播过程中的特定点进入调试器。

其次，它允许 Python 原生控制流的微分。 我们不确定这在最终软件工件中被使用的频率，但当用户第一次尝试使用 JAX 或 Autograd 时，他们经常会被这种自由所打动。我们将其包含在我们的 JAX 和 Autograd 自述文件、幻灯片和演示文稿的顶部是有原因的。放弃这种能力将是 Autograd 的退步。我们希望 JAX 拥有最好的自动微分。

然而，custom_transforms 机制没有提供这种 Python 支持的灵活性。也就是说，由于它是在用户函数和自定义微分规则的 Python 代码的基础上预先形成 jaxpr 实现的，因此以下代码会导致抽象值追踪错误

# old custom_transforms api to be replaced
@jax.custom_transforms
def f(x):
  if x > 0:
    return x
  else:
    return 0.

def f_vjp(x):
  return ...

jax.defvjp_all(f, f_vjp)

grad(f)(1.)  # Error!

解决方案思路#

主要思路是dougalm@ 已经用 core.call 解决了这些问题。也就是说，我们可以将为用户函数指定自定义 JVP 规则的任务，视为一个新的 Python 级别的调用基本运算（不会添加到 jaxpr 语言中；见下文）。这个新的调用基本运算与 core.call 一样，也与用户 Python 函数相关联，但此外还具有表示 JVP 规则的第二个 Python 可调用对象。让我们将这个新的调用基本运算称为 custom_jvp_call。

像 vmap 这样的转换与 custom_jvp_call 的交互方式与 core.call 相同：它们实际上会直接通过它，并应用于底层的 Python 可调用对象。以图表的形式表示，为了方便起见，使用基本运算的柯里化版本来表示，类似于 vmap 通过应用于要调用的函数与 core.call 相互作用的方式

vmap(call(f)) == call(vmap(f))

对于新的基元 custom_jvp_call，我们只需对它包含的两个函数应用 vmap。

vmap(custom_jvp_call(f, f_jvp)) == custom_jvp_call(vmap(f), vmap(f_jvp))

这种行为意味着我们已经解决了 vmap-removes-custom-jvp 语义问题。

jvp 变换按预期的方式交互：它只调用 f_jvp。

jvp(call(f)) == call(jvp(f))

jvp(custom_jvp_call(f, f_jvp)) == f_jvp

因为 custom_jvp_call 的行为类似于 core.call（而不是类似于 xla.xla_call），因为它不会提高其输入的抽象级别（因为它没有延迟任何东西或暂存任何东西），这意味着我们已经解决了 Python 灵活性问题：用户 Python 函数没有约束（除了 jvp 或 vjp 所需的常规函数式编程约束）。

评估和编译呢？这两种方法是“退出”JAX 系统的两种方式，因为在此步骤之后无法应用任何其他变换。因此，它们的规则非常简单。

eval(call(f)) == eval(f)
jit(call(f)) == hlo_call(jit(f))

eval(custom_jvp_call(f, f_jvp)) == eval(f)
jit(custom_jvp_call(f, f_jvp)) == hlo_call(jit(f))

换句话说，如果 JVP 规则还没有将 custom_jvp_call(f, f_jvp) 重写为 f_jvp，当我们使用 eval 进行评估或使用 jit 暂存到 XLA 时，微分永远不会被应用，因此我们只需忽略 f_jvp 并且像 core.call 一样执行。但是，由于下一个讨论的细微差别， custom_jvp_call 的部分评估规则必须更复杂一些，因为部分评估不仅用于使用 jit 暂存到 XLA。

唯一剩下的细微差别与“初始样式”的 jaxpr 生成基元（如 lax.scan）及其变换规则有关。它们表示与编译不同的“暂存到 jaxpr”类型，因为我们可以在暂存的 jaxpr 上执行额外的变换。也就是说，当 lax.scan 生成 jaxpr 时，它不会退出变换系统，因为当我们对 lax.scan 应用 jvp 或 vmap 时，我们需要将其应用于 jaxpr 所代表的函数。

另一种描述细微差别的说法是，像 lax.scan 这样的初始样式基元依赖于在保留语义的同时将 jaxpr 来回转换到 Python 可调用对象的能力。这意味着也要保留自定义微分规则的语义。

解决方案是使用一些动态作用域：当我们为初始样式的基元（如 lax_control_flow.py 中的那些基元）暂存到 jaxpr 时，我们在全局跟踪状态上设置一个位。当该位被设置时，我们不使用最终样式的 custom_jvp_call 基元，而是使用初始样式的 custom_jvp_call_jaxpr 基元，并将函数 f 和 f_jvp 提前跟踪到 jaxpr 以便于初始样式的处理。 custom_jvp_call_jaxpr 基元在其他方面类似于最终样式版本。

（注：虽然从道德上讲，我们在绑定 custom_jvp_call_jaxpr 之前为 f 和 f_jvp 都生成了 jaxpr，但我们需要延迟生成 f_jvp 的 jaxpr，因为它可能会调用自定义 JVP 函数，因此急切处理会导致无限递归。我们通过一个 thunk 来延迟 jaxpr 生成。）

如果我们放弃了 Python 灵活性问题，我们就可以只使用 custom_jvp_call_jaxpr，而无需单独的 Python 级基元 custom_jvp_call。

API#

a -> b 函数的自定义 JVP 通过 (a, Ta) -> (b, T b) 函数指定。

# f :: a -> b
@jax.custom_jvp
def f(x):
  return np.sin(x)

# f_jvp :: (a, T a) -> (b, T b)
def f_jvp(primals, tangents):
  x, = primals
  t, = tangents
  return f(x), np.cos(x) * t

f.defjvp(f_jvp)

（有趣的自动微分旁注：为了使该规则适用于高阶微分，必须在 f_jvp 的主体中调用 f；这排除了在 f 的内部和切线计算之间进行一些工作共享的可能性。）

a -> b 函数的自定义 VJP 通过 a -> (b, c) 正向传递函数配对一个 (c, CT b) -> CT 反向传递函数来指定。

# f :: a -> b
@jax.custom_vjp
def f(x):
  return np.sin(x)

# f_fwd :: a -> (b, c)
def f_fwd(x):
  return f(x), np.cos(x)

# f_bwd :: (c, CT b) -> CT a
def f_bwd(cos_x, g):
  return (cos_x * g,)

f.defvjp(f_fwd, f_bwd)

签名 a -> (b, CT b --o CT a) 更加美观，但支持它会使实现更加复杂，并且可能需要牺牲表达能力的愿望。基本原因是 Python 可调用对象是不透明的（除非我们急切地将其跟踪到 jaxpr，这会对表达能力施加约束），在这种情况下，我们可能会返回一个在闭包中包含 vmap 跟踪器，而我们需要在正向传递期间了解这些跟踪器。

我们可以添加一些便捷包装器，例如为一次定义一个参数的 JVP 规则（就像我们在内部为基元所做的那样）。但是，由于此提案本身已经足够复杂，所以我决定不添加便捷层；现在让我们保持简单。

API 中还有一些其他功能。

  • 输入和输出类型 a、b 和 c 可以是 jaxtypes 的任意 pytree。

  • 当可以使用 inspect 模块将它们解析为位置时，支持按名称传递参数（关键字参数）。这在 Python 3 改进的程序化检查参数签名能力方面是一个小实验。我认为它是健全的，但并不完整，这是一个可以接受的地方。（另见 #2069。）

  • 可以使用 nondiff_argnums 将参数标记为不可微分，并且与 jit 的 static_argnums 一样，这些参数不必是 JAX 类型。我们需要为如何将这些参数传递给规则设置一个约定。对于具有类型签名 (d, a) -> b 的原始函数，其中 d 表示不可微分类型，JVP 规则的签名是 (a, T a, d) -> T b，而 VJP 规则的反向分量签名是 (d, c, CT b) -> CT a。也就是说，对于自定义 JVP 规则，不可微分参数按顺序在 primals 和 tangents 之后传递，并且对于自定义 VJP 规则的反向函数，不可微分参数按顺序在残差之前传递。

实现说明#

  • 更新了 jax.experimental.odeint

    • 由于 odeint 是自定义 VJP 规则的一个非常复杂的使用者，除了更新它使其能够工作之外，我还希望将其修改为新自定义 VJP API 的典型使用者，以此作为测试 API 是否良好的方法。

    • 在此过程中，我对 odeint 的实现进行了其他改进。

      • 删除了展开/未展开的样板代码。

      • 使用 lax.scan 来移除索引更新逻辑。

      • 在简单摆模型基准测试中速度提高了 20% 以上。

  • 为每个自定义导数调用基元（custom_jvp_call 和 custom_vjp_call）添加了一个自定义绑定方法。它类似于 core.call_bind，不同的是我们不处理 env 跟踪：这些都是错误。

  • 添加了 custom_lin 基元，它被暂存到线性 jaxpr 中，以便在使用自定义 VJP 规则时进行转置。

    • 因为我们的反向模式自动微分被分解为线性化、部分评估和转置，所以我们的自定义 VJP 规则在两个单独的步骤中进行处理：一个是在线性化期间，另一个是在转置期间。

    • 线性化步骤，即 custom_vjp_call 的 JVP 规则，将 custom_lin 应用于切线值； custom_lin 携带着用户的自定义反向传递函数，并且作为一个基元，它只有转置规则。

    • 此机制在 #636 中有更详细的描述。

  • 为了防止

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