自动微分

自动微分#

在本节中，您将了解 JAX 中自动微分（自动微分）的基本应用。JAX 具有非常通用的自动微分系统。计算梯度是现代机器学习方法的关键部分，本教程将引导您完成一些自动微分的入门主题，例如

确保也查看 高级自动微分 教程以了解更高级的主题。

虽然了解自动微分“幕后”的工作原理对于在大多数情况下使用 JAX 并不重要，但鼓励您查看这个非常易懂的 视频 以更深入地了解正在发生的事情。

1. 使用 jax.grad 获取梯度#

在 JAX 中，可以使用 jax.grad() 转换来微分标量值函数

import jax
import jax.numpy as jnp
from jax import grad

grad_tanh = grad(jnp.tanh)
print(grad_tanh(2.0))

0.070650816

jax.grad() 接受一个函数并返回一个函数。如果你有一个 Python 函数 f，它用来计算数学函数 \(f\)，那么 jax.grad(f) 就是一个 Python 函数，它用来计算数学函数 \(\nabla f\)。这意味着 grad(f)(x) 代表了值 \(\nabla f(x)\).

由于 jax.grad() 是作用于函数的，你可以把它应用到自己的输出上，这样就可以进行任意次数的微分。

print(grad(grad(jnp.tanh))(2.0))
print(grad(grad(grad(jnp.tanh)))(2.0))

-0.13621868
0.25265405

JAX 的自动微分使得计算高阶导数变得很容易，因为计算导数的函数本身也是可微的。因此，高阶导数就像堆叠变换一样简单。这可以在单变量情况下说明。

\(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1\) 的导数可以计算为

f = lambda x: x**3 + 2*x**2 - 3*x + 1

dfdx = jax.grad(f)

\(f\) 的高阶导数为

\[\begin{split} \begin{array}{l} f'(x) = 3x^2 + 4x -3\\ f''(x) = 6x + 4\\ f'''(x) = 6\\ f^{iv}(x) = 0 \end{array} \end{split}\]

在 JAX 中计算这些导数就像将 jax.grad() 函数链接起来一样简单。

d2fdx = jax.grad(dfdx)
d3fdx = jax.grad(d2fdx)
d4fdx = jax.grad(d3fdx)

在 \(x=1\) 处对以上表达式进行求值会得到

\[\begin{split} \begin{array}{l} f'(1) = 4\\ f''(1) = 10\\ f'''(1) = 6\\ f^{iv}(1) = 0 \end{array} \end{split}\]

使用 JAX

print(dfdx(1.))
print(d2fdx(1.))
print(d3fdx(1.))
print(d4fdx(1.))

4.0
10.0
6.0
0.0

2. 在线性逻辑回归中计算梯度#

下一个例子展示了如何在线性逻辑回归模型中使用 jax.grad() 来计算梯度。首先，设置。

key = jax.random.key(0)

def sigmoid(x):
  return 0.5 * (jnp.tanh(x / 2) + 1)

# Outputs probability of a label being true.
def predict(W, b, inputs):
  return sigmoid(jnp.dot(inputs, W) + b)

# Build a toy dataset.
inputs = jnp.array([[0.52, 1.12,  0.77],
                    [0.88, -1.08, 0.15],
                    [0.52, 0.06, -1.30],
                    [0.74, -2.49, 1.39]])
targets = jnp.array([True, True, False, True])

# Training loss is the negative log-likelihood of the training examples.
def loss(W, b):
  preds = predict(W, b, inputs)
  label_probs = preds * targets + (1 - preds) * (1 - targets)
  return -jnp.sum(jnp.log(label_probs))

# Initialize random model coefficients
key, W_key, b_key = jax.random.split(key, 3)
W = jax.random.normal(W_key, (3,))
b = jax.random.normal(b_key, ())

使用 jax.grad() 函数及其 argnums 参数来对函数相对于位置参数进行微分。

# Differentiate `loss` with respect to the first positional argument:
W_grad = grad(loss, argnums=0)(W, b)
print(f'{W_grad=}')

# Since argnums=0 is the default, this does the same thing:
W_grad = grad(loss)(W, b)
print(f'{W_grad=}')

# But you can choose different values too, and drop the keyword:
b_grad = grad(loss, 1)(W, b)
print(f'{b_grad=}')

# Including tuple values
W_grad, b_grad = grad(loss, (0, 1))(W, b)
print(f'{W_grad=}')
print(f'{b_grad=}')

W_grad=Array([-0.16965583, -0.8774644 , -1.4901346 ], dtype=float32)
W_grad=Array([-0.16965583, -0.8774644 , -1.4901346 ], dtype=float32)
b_grad=Array(-0.29227245, dtype=float32)
W_grad=Array([-0.16965583, -0.8774644 , -1.4901346 ], dtype=float32)
b_grad=Array(-0.29227245, dtype=float32)

jax.grad() API 与 Spivak 的经典著作 Calculus on Manifolds (1965) 中的优秀符号完全对应，该符号也用于 Sussman 和 Wisdom 的 Structure and Interpretation of Classical Mechanics (2015) 和他们的 Functional Differential Geometry (2013)。这两本书都是开放获取的。特别是查看 Functional Differential Geometry 的“前言”部分，了解对这种符号的辩护。

本质上，当使用 argnums 参数时，如果 f 是用来计算数学函数 \(f\) 的 Python 函数，那么 Python 表达式 jax.grad(f, i) 计算结果是用来计算 \(\partial_i f\) 的 Python 函数。

3. 相对于嵌套列表、元组和字典进行微分#

由于 JAX 的 PyTree 抽象（参见 Working with pytrees），相对于标准 Python 容器进行微分就可以正常工作，因此可以按照你喜欢的方式使用元组、列表和字典（以及任意嵌套）。

继续上一个例子

def loss2(params_dict):
    preds = predict(params_dict['W'], params_dict['b'], inputs)
    label_probs = preds * targets + (1 - preds) * (1 - targets)
    return -jnp.sum(jnp.log(label_probs))

print(grad(loss2)({'W': W, 'b': b}))

{'W': Array([-0.16965583, -0.8774644 , -1.4901346 ], dtype=float32), 'b': Array(-0.29227245, dtype=float32)}

你可以创建 Custom pytree nodes 来处理不仅 jax.grad() 而且其他 JAX 变换（jax.jit()、jax.vmap() 等等）。

4. 使用 jax.value_and_grad 来计算函数及其梯度#

另一个方便的函数是 jax.value_and_grad()，它可以有效地在一步内计算函数的值及其梯度的值。

继续上一个例子

loss_value, Wb_grad = jax.value_and_grad(loss, (0, 1))(W, b)
print('loss value', loss_value)
print('loss value', loss(W, b))

loss value 3.0519385
loss value 3.0519385

5. 与数值差值进行比较#

导数的妙处在于可以用有限差分方法直观地进行验证。

继续上一个例子

# Set a step size for finite differences calculations
eps = 1e-4

# Check b_grad with scalar finite differences
b_grad_numerical = (loss(W, b + eps / 2.) - loss(W, b - eps / 2.)) / eps
print('b_grad_numerical', b_grad_numerical)
print('b_grad_autodiff', grad(loss, 1)(W, b))

# Check W_grad with finite differences in a random direction
key, subkey = jax.random.split(key)
vec = jax.random.normal(subkey, W.shape)
unitvec = vec / jnp.sqrt(jnp.vdot(vec, vec))
W_grad_numerical = (loss(W + eps / 2. * unitvec, b) - loss(W - eps / 2. * unitvec, b)) / eps
print('W_dirderiv_numerical', W_grad_numerical)
print('W_dirderiv_autodiff', jnp.vdot(grad(loss)(W, b), unitvec))

b_grad_numerical -0.29325485
b_grad_autodiff -0.29227245
W_dirderiv_numerical -0.2002716
W_dirderiv_autodiff -0.19909117

JAX 提供了一个简单的便捷函数，它本质上做了相同的事情，但可以检查你喜欢的任意阶导数。

from jax.test_util import check_grads

check_grads(loss, (W, b), order=2)  # check up to 2nd order derivatives

下一步#

高级自动微分 教程提供了关于本节内容是如何在 JAX 后端实现的更高级和更详细的解释。一些功能，例如 JAX 可转换 Python 函数的自定义导数规则，依赖于对高级自动微分的理解，所以如果你感兴趣，请查看 高级自动微分 教程中的这一节。

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