自定义导数规则

自定义导数规则#

在 JAX 中，有两种定义微分规则的方法：

使用 jax.custom_jvp 和 jax.custom_vjp 为已经可进行 JAX 转换的 Python 函数定义自定义微分规则；以及
定义新的 core.Primitive 实例及其所有转换规则，例如调用来自其他系统（如求解器、模拟器或通用数值计算系统）的函数。

本笔记本主要介绍第 1 种方法。要阅读关于第 2 种方法的内容，请参阅关于添加原语的笔记本。

有关 JAX 的自动微分 API 的介绍，请参阅自动微分手册。本笔记本假设您已经熟悉 jax.jvp 和 jax.grad，以及 JVP 和 VJP 的数学含义。

摘要#

使用 `jax.custom_jvp` 的自定义 JVP#

import jax.numpy as jnp
from jax import custom_jvp

@custom_jvp
def f(x, y):
  return jnp.sin(x) * y

@f.defjvp
def f_jvp(primals, tangents):
  x, y = primals
  x_dot, y_dot = tangents
  primal_out = f(x, y)
  tangent_out = jnp.cos(x) * x_dot * y + jnp.sin(x) * y_dot
  return primal_out, tangent_out

from jax import jvp, grad

print(f(2., 3.))
y, y_dot = jvp(f, (2., 3.), (1., 0.))
print(y)
print(y_dot)
print(grad(f)(2., 3.))

# Equivalent alternative using the defjvps convenience wrapper

@custom_jvp
def f(x, y):
  return jnp.sin(x) * y

f.defjvps(lambda x_dot, primal_out, x, y: jnp.cos(x) * x_dot * y,
          lambda y_dot, primal_out, x, y: jnp.sin(x) * y_dot)

print(f(2., 3.))
y, y_dot = jvp(f, (2., 3.), (1., 0.))
print(y)
print(y_dot)
print(grad(f)(2., 3.))

使用 `jax.custom_vjp` 的自定义 VJP#

from jax import custom_vjp

@custom_vjp
def f(x, y):
  return jnp.sin(x) * y

def f_fwd(x, y):
  # Returns primal output and residuals to be used in backward pass by f_bwd.
  return f(x, y), (jnp.cos(x), jnp.sin(x), y)

def f_bwd(res, g):
  cos_x, sin_x, y = res # Gets residuals computed in f_fwd
  return (cos_x * g * y, sin_x * g)

f.defvjp(f_fwd, f_bwd)

print(grad(f)(2., 3.))

-1.2484405

示例问题#

为了了解 jax.custom_jvp 和 jax.custom_vjp 旨在解决哪些问题，让我们来看几个示例。下一节将更详细地介绍 jax.custom_jvp 和 jax.custom_vjp API。

数值稳定性#

jax.custom_jvp 的一个应用是提高微分的数值稳定性。

假设我们要编写一个名为 log1pexp 的函数，它计算 \(x \mapsto \log ( 1 + e^x )\)。我们可以使用 jax.numpy 来编写它：

def log1pexp(x):
  return jnp.log(1. + jnp.exp(x))

log1pexp(3.)

Array(3.0485873, dtype=float32, weak_type=True)

由于它是用 jax.numpy 编写的，因此它是可进行 JAX 转换的：

from jax import jit, grad, vmap

print(jit(log1pexp)(3.))
print(jit(grad(log1pexp))(3.))
print(vmap(jit(grad(log1pexp)))(jnp.arange(3.)))

3.0485873
0.95257413
[0.5       0.7310586 0.8807971]

但是这里潜伏着一个数值稳定性问题：

print(grad(log1pexp)(100.))

nan

这看起来不对！毕竟，\(x \mapsto \log (1 + e^x)\) 的导数是 \(x \mapsto \frac{e^x}{1 + e^x}\)，因此对于较大的 \(x\) 值，我们期望该值约为 1。

我们可以通过查看梯度计算的 jaxpr 来更深入地了解发生了什么：

from jax import make_jaxpr

make_jaxpr(grad(log1pexp))(100.)

{ lambda ; a:f32[]. let
    b:f32[] = exp a
    c:f32[] = add 1.0 b
    _:f32[] = log c
    d:f32[] = div 1.0 c
    e:f32[] = mul d b
  in (e,) }

逐步执行 jaxpr 的求值过程，我们可以看到最后一行将涉及乘以浮点数学将舍入为 0 和 \(\infty\) 的值，这不是一个好主意。也就是说，我们有效地评估 lambda x: (1 / (1 + jnp.exp(x))) * jnp.exp(x)，对于较大的 x，它实际上变成了 0. * jnp.inf。

与其生成如此大和小的值，并希望浮点数无法总是提供的抵消，我们宁愿将导数函数表达为更数值稳定的程序。特别是，我们可以编写一个程序，更紧密地评估相等的数学表达式 \(1 - \frac{1}{1 + e^x}\)，没有明显的抵消。

这个问题很有趣，因为即使我们对 log1pexp 的定义已经可以进行 JAX 微分（并使用 jit、vmap 等进行转换），我们对将标准自动微分规则应用于组成 log1pexp 的原语并组合结果并不满意。相反，我们希望指定应如何微分整个函数 log1pexp（作为一个单元），从而更好地安排这些指数。

这是自定义导数规则对已经可进行 JAX 转换的 Python 函数的一个应用：指定应该如何微分复合函数，同时仍然将其原始 Python 定义用于其他转换（如 jit、vmap 等）。

这是使用 jax.custom_jvp 的解决方案：

from jax import custom_jvp

@custom_jvp
def log1pexp(x):
  return jnp.log(1. + jnp.exp(x))

@log1pexp.defjvp
def log1pexp_jvp(primals, tangents):
  x, = primals
  x_dot, = tangents
  ans = log1pexp(x)
  ans_dot = (1 - 1/(1 + jnp.exp(x))) * x_dot
  return ans, ans_dot

print(grad(log1pexp)(100.))

1.0

print(jit(log1pexp)(3.))
print(jit(grad(log1pexp))(3.))
print(vmap(jit(grad(log1pexp)))(jnp.arange(3.)))

3.0485873
0.95257413
[0.5       0.7310586 0.8807971]

这是一个 defjvps 便利包装器，用于表达相同的内容：

@custom_jvp
def log1pexp(x):
  return jnp.log(1. + jnp.exp(x))

log1pexp.defjvps(lambda t, ans, x: (1 - 1/(1 + jnp.exp(x))) * t)

print(grad(log1pexp)(100.))
print(jit(log1pexp)(3.))
print(jit(grad(log1pexp))(3.))
print(vmap(jit(grad(log1pexp)))(jnp.arange(3.)))

0
0485873
95257413
[0.5       0.7310586 0.8807971]

强制微分约定#

一个相关的应用是强制执行微分约定，可能在边界处。

考虑函数 \(f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+\)，其中 \(f(x) = \frac{x}{1 + \sqrt{x}}\)，我们取 \(\mathbb{R}_+ = [0, \infty)\)。我们可以将 \(f\) 实现为如下程序：

def f(x):
  return x / (1 + jnp.sqrt(x))

作为 \(\mathbb{R}\)（完整的实数线）上的数学函数，\(f\) 在零处不可微（因为从左侧定义的导数极限不存在）。相应地，自动微分产生一个 nan 值：

print(grad(f)(0.))

nan

但从数学上讲，如果我们将 \(f\) 视为 \(\mathbb{R}_+\) 上的函数，则它在 0 处可微 [Rudin 的《数学分析原理》定义 5.1，或 Tao 的《分析 I》第 3 版定义 10.1.1 和示例 10.1.6]。或者，我们可能会说按照惯例，我们希望考虑从右侧的定向导数。因此，Python 函数 grad(f) 在 0.0 处返回一个合理的值，即 1.0。默认情况下，JAX 的微分机制假定所有函数都定义在 \(\mathbb{R}\) 上，因此在这里不会产生 1.0。

我们可以使用自定义 JVP 规则！特别是，我们可以根据 \(\mathbb{R}_+\) 上的导数函数 \(x \mapsto \frac{\sqrt{x} + 2}{2(\sqrt{x} + 1)^2}\) 定义 JVP 规则：

@custom_jvp
def f(x):
  return x / (1 + jnp.sqrt(x))

@f.defjvp
def f_jvp(primals, tangents):
  x, = primals
  x_dot, = tangents
  ans = f(x)
  ans_dot = ((jnp.sqrt(x) + 2) / (2 * (jnp.sqrt(x) + 1)**2)) * x_dot
  return ans, ans_dot

print(grad(f)(0.))

1.0

这是便利包装器版本：

@custom_jvp
def f(x):
  return x / (1 + jnp.sqrt(x))

f.defjvps(lambda t, ans, x: ((jnp.sqrt(x) + 2) / (2 * (jnp.sqrt(x) + 1)**2)) * t)

print(grad(f)(0.))

1.0

梯度裁剪#

虽然在某些情况下我们想要表达数学微分计算，但在其他情况下，我们甚至可能希望偏离数学来调整自动微分执行的计算。一个典型的例子是反向模式梯度裁剪。

对于梯度裁剪，我们可以将 jnp.clip 与 jax.custom_vjp 的仅反向模式规则一起使用：

from functools import partial
from jax import custom_vjp

@custom_vjp
def clip_gradient(lo, hi, x):
  return x  # identity function

def clip_gradient_fwd(lo, hi, x):
  return x, (lo, hi)  # save bounds as residuals

def clip_gradient_bwd(res, g):
  lo, hi = res
  return (None, None, jnp.clip(g, lo, hi))  # use None to indicate zero cotangents for lo and hi

clip_gradient.defvjp(clip_gradient_fwd, clip_gradient_bwd)

import matplotlib.pyplot as plt
from jax import vmap

t = jnp.linspace(0, 10, 1000)

plt.plot(jnp.sin(t))
plt.plot(vmap(grad(jnp.sin))(t))

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f843611ccd0>]

../_images/e6101bd4f6bd3f967974ad1e3aa67e067205203dacad4201a7e5662fc3d83123.png

def clip_sin(x):
  x = clip_gradient(-0.75, 0.75, x)
  return jnp.sin(x)

plt.plot(clip_sin(t))
plt.plot(vmap(grad(clip_sin))(t))

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f84361ae590>]

../_images/3c2f4dcda61db63e0d708007a910a4df3926a313f1726c5fe48d094f52622ae0.png

Python 调试#

另一个由开发工作流程而非数值驱动的应用是在反向模式自动微分的反向传递中设置 pdb 调试器跟踪。

当尝试追踪 nan 运行时错误的来源，或者只是仔细检查正在传播的余切（梯度）值时，在对应于原始计算中特定点的反向传递中插入调试器会很有用。您可以使用 jax.custom_vjp 来完成此操作。

我们将把示例推迟到下一节。

迭代实现的隐函数微分#

此示例深入到数学的深渊！

jax.custom_vjp 的另一个应用是对 JAX 可转换（通过 jit、vmap 等）但由于某种原因无法高效地进行 JAX 微分的函数进行反向模式微分，这可能是因为它们涉及 lax.while_loop。（无法生成一个 XLA HLO 程序来高效地计算 XLA HLO While 循环的反向模式导数，因为这需要一个具有无限制内存使用的程序，这是无法在 XLA HLO 中表达的，至少在没有通过输入/输出流进行副作用交互的情况下。）

例如，考虑以下 fixed_point 例程，它通过在 while_loop 中迭代应用一个函数来计算不动点：

from jax.lax import while_loop

def fixed_point(f, a, x_guess):
  def cond_fun(carry):
    x_prev, x = carry
    return jnp.abs(x_prev - x) > 1e-6

  def body_fun(carry):
    _, x = carry
    return x, f(a, x)

  _, x_star = while_loop(cond_fun, body_fun, (x_guess, f(a, x_guess)))
  return x_star

这是一种迭代过程，用于通过迭代 \(x_{t+1} = f(a, x_t)\) 直到 \(x_{t+1}\) 足够接近 \(x_t\) 来数值求解方程 \(x = f(a, x)\) 的 \(x\)。结果 \(x^*\) 取决于参数 \(a\)，因此我们可以认为存在一个函数 \(a \mapsto x^*(a)\)，该函数由方程 \(x = f(a, x)\) 隐式定义。

我们可以使用 fixed_point 来运行迭代过程以收敛，例如运行牛顿法来计算平方根，同时仅执行加法、乘法和除法：

def newton_sqrt(a):
  update = lambda a, x: 0.5 * (x + a / x)
  return fixed_point(update, a, a)

print(newton_sqrt(2.))

1.4142135

我们也可以对该函数进行 vmap 或 jit：

print(jit(vmap(newton_sqrt))(jnp.array([1., 2., 3., 4.])))

[1.        1.4142135 1.7320509 2.       ]

由于 while_loop，我们无法应用反向模式自动微分，但事实证明，我们也不想这样做：与其通过 fixed_point 的实现及其所有迭代进行微分，不如利用数学结构来执行更节省内存的操作（并且在这种情况下也更节省 FLOP！）。相反，我们可以使用隐函数定理 [Bertsekas 的《非线性规划》第 2 版中的命题 A.25]，该定理（在某些条件下）保证了我们即将使用的数学对象的存在。本质上，我们在解处线性化，并迭代求解这些线性方程，以计算我们想要的导数。

再次考虑方程 \(x = f(a, x)\) 和函数 \(x^*\)。我们想要评估向量-雅可比乘积，例如 \(v^\mathsf{T} \mapsto v^\mathsf{T} \partial x^*(a_0)\)。

至少在我们要微分的点 \(a_0\) 周围的开邻域内，我们假设方程 \(x^*(a) = f(a, x^*(a))\) 对所有 \(a\) 都成立。由于两边作为 \(a\) 的函数相等，它们的导数也必须相等，所以让我们对两边求导。

\(\qquad \partial x^*(a) = \partial_0 f(a, x^*(a)) + \partial_1 f(a, x^*(a)) \partial x^*(a)\).

设置 \(A = \partial_1 f(a_0, x^*(a_0))\) 和 \(B = \partial_0 f(a_0, x^*(a_0))\)，我们可以更简单地将我们想要的量写成

\(\qquad \partial x^*(a_0) = B + A \partial x^*(a_0)\),

或者，通过重新排列，

\(\qquad \partial x^*(a_0) = (I - A)^{-1} B\).

这意味着我们可以评估向量-雅可比矩阵乘积，例如

\(\qquad v^\mathsf{T} \partial x^*(a_0) = v^\mathsf{T} (I - A)^{-1} B = w^\mathsf{T} B\),

其中 \(w^\mathsf{T} = v^\mathsf{T} (I - A)^{-1}\)，或等价地 \(w^\mathsf{T} = v^\mathsf{T} + w^\mathsf{T} A\)，或等价地 \(w^\mathsf{T}\) 是映射 \(u^\mathsf{T} \mapsto v^\mathsf{T} + u^\mathsf{T} A\) 的不动点。最后一个表述为我们提供了一种用调用 fixed_point 的方式来编写 fixed_point 的 VJP 的方法！此外，在将 \(A\) 和 \(B\) 展开后，我们可以看到我们只需要评估 \(f\) 在 \((a_0, x^*(a_0))\) 处的 VJP。

以下是重点

from jax import vjp

@partial(custom_vjp, nondiff_argnums=(0,))
def fixed_point(f, a, x_guess):
  def cond_fun(carry):
    x_prev, x = carry
    return jnp.abs(x_prev - x) > 1e-6

  def body_fun(carry):
    _, x = carry
    return x, f(a, x)

  _, x_star = while_loop(cond_fun, body_fun, (x_guess, f(a, x_guess)))
  return x_star

def fixed_point_fwd(f, a, x_init):
  x_star = fixed_point(f, a, x_init)
  return x_star, (a, x_star)

def fixed_point_rev(f, res, x_star_bar):
  a, x_star = res
  _, vjp_a = vjp(lambda a: f(a, x_star), a)
  a_bar, = vjp_a(fixed_point(partial(rev_iter, f),
                             (a, x_star, x_star_bar),
                             x_star_bar))
  return a_bar, jnp.zeros_like(x_star)

def rev_iter(f, packed, u):
  a, x_star, x_star_bar = packed
  _, vjp_x = vjp(lambda x: f(a, x), x_star)
  return x_star_bar + vjp_x(u)[0]

fixed_point.defvjp(fixed_point_fwd, fixed_point_rev)

print(newton_sqrt(2.))

1.4142135

print(grad(newton_sqrt)(2.))
print(grad(grad(newton_sqrt))(2.))

0.35355338
-0.088388346

我们可以通过微分使用完全不同实现的 jnp.sqrt 来检查我们的答案

print(grad(jnp.sqrt)(2.))
print(grad(grad(jnp.sqrt))(2.))

0.35355338
-0.08838835

这种方法的一个限制是参数 f 不能闭包任何涉及微分的值。也就是说，您可能会注意到我们在 fixed_point 的参数列表中保持了参数 a 的显式。对于这种情况，请考虑使用底层原语 lax.custom_root，它允许在具有自定义求根函数的闭包变量中进行微分。

`jax.custom_jvp` 和 `jax.custom_vjp` API 的基本用法#

使用 `jax.custom_jvp` 定义前向模式（以及间接的反向模式）规则#

这是一个使用 jax.custom_jvp 的规范基本示例，其中注释使用了类似 Haskell 的类型签名

from jax import custom_jvp
import jax.numpy as jnp

# f :: a -> b
@custom_jvp
def f(x):
  return jnp.sin(x)

# f_jvp :: (a, T a) -> (b, T b)
def f_jvp(primals, tangents):
  x, = primals
  t, = tangents
  return f(x), jnp.cos(x) * t

f.defjvp(f_jvp)

<function __main__.f_jvp(primals, tangents)>

from jax import jvp

print(f(3.))

y, y_dot = jvp(f, (3.,), (1.,))
print(y)
print(y_dot)

0.14112
0.14112
-0.9899925

换句话说，我们从一个原始函数 f 开始，该函数接受类型为 a 的输入并产生类型为 b 的输出。我们将其与 JVP 规则函数 f_jvp 相关联，该函数接受一对输入，分别表示类型为 a 的原始输入和类型为 T a 的相应切线输入，并产生一对输出，分别表示类型为 b 的原始输出和类型为 T b 的切线输出。切线输出应为切线输入的线性函数。

您还可以使用 f.defjvp 作为装饰器，如下所示

@custom_jvp
def f(x):
  ...

@f.defjvp
def f_jvp(primals, tangents):
  ...

即使我们只定义了一个 JVP 规则而没有定义 VJP 规则，我们也可以对 f 使用前向和反向模式微分。JAX 将自动转置我们自定义 JVP 规则中切线值上的线性计算，以与我们手动编写规则一样高效地计算 VJP

from jax import grad

print(grad(f)(3.))
print(grad(grad(f))(3.))

-0.9899925
-0.14112

为了使自动转置工作，JVP 规则的输出切线必须是输入切线的线性函数。否则会引发转置错误。

多个参数的工作方式如下

@custom_jvp
def f(x, y):
  return x ** 2 * y

@f.defjvp
def f_jvp(primals, tangents):
  x, y = primals
  x_dot, y_dot = tangents
  primal_out = f(x, y)
  tangent_out = 2 * x * y * x_dot + x ** 2 * y_dot
  return primal_out, tangent_out

print(grad(f)(2., 3.))

12.0

defjvps 方便的包装器允许我们为每个参数单独定义一个 JVP，并且分别计算结果然后求和

@custom_jvp
def f(x):
  return jnp.sin(x)

f.defjvps(lambda t, ans, x: jnp.cos(x) * t)

print(grad(f)(3.))

-0.9899925

这是一个带有多个参数的 defjvps 示例

@custom_jvp
def f(x, y):
  return x ** 2 * y

f.defjvps(lambda x_dot, primal_out, x, y: 2 * x * y * x_dot,
          lambda y_dot, primal_out, x, y: x ** 2 * y_dot)

print(grad(f)(2., 3.))
print(grad(f, 0)(2., 3.))  # same as above
print(grad(f, 1)(2., 3.))

0
0
0

作为简写，使用 defjvps，您可以传递一个 None 值来表示特定参数的 JVP 为零

@custom_jvp
def f(x, y):
  return x ** 2 * y

f.defjvps(lambda x_dot, primal_out, x, y: 2 * x * y * x_dot,
          None)

print(grad(f)(2., 3.))
print(grad(f, 0)(2., 3.))  # same as above
print(grad(f, 1)(2., 3.))

0
0
0

调用带有关键字参数的 jax.custom_jvp 函数，或者使用默认参数编写 jax.custom_jvp 函数定义，只要它们可以根据标准库 inspect.signature 机制检索的函数签名明确映射到位置参数，都是允许的。

当您不执行微分时，函数 f 的调用就像它没有被 jax.custom_jvp 修饰一样

@custom_jvp
def f(x):
  print('called f!')  # a harmless side-effect
  return jnp.sin(x)

@f.defjvp
def f_jvp(primals, tangents):
  print('called f_jvp!')  # a harmless side-effect
  x, = primals
  t, = tangents
  return f(x), jnp.cos(x) * t

from jax import vmap, jit

print(f(3.))

called f!
0.14112

print(vmap(f)(jnp.arange(3.)))
print(jit(f)(3.))

called f!
[0.         0.84147096 0.9092974 ]
called f!
0.14112

自定义 JVP 规则在微分期间被调用，无论是前向还是反向

y, y_dot = jvp(f, (3.,), (1.,))
print(y_dot)

called f_jvp!
called f!
-0.9899925

print(grad(f)(3.))

called f_jvp!
called f!
-0.9899925

请注意，f_jvp 调用 f 来计算原始输出。在更高阶微分的上下文中，只有当规则调用原始的 f 来计算原始输出时，微分变换的每次应用才会使用自定义 JVP 规则。（这代表了一种基本权衡，我们不能利用规则中 f 的评估的中间值，并且规则也适用于所有高阶微分。）

grad(grad(f))(3.)

called f_jvp!
called f_jvp!
called f!

Array(-0.14112, dtype=float32, weak_type=True)

您可以使用带有 jax.custom_jvp 的 Python 控制流

@custom_jvp
def f(x):
  if x > 0:
    return jnp.sin(x)
  else:
    return jnp.cos(x)

@f.defjvp
def f_jvp(primals, tangents):
  x, = primals
  x_dot, = tangents
  ans = f(x)
  if x > 0:
    return ans, 2 * x_dot
  else:
    return ans, 3 * x_dot

print(grad(f)(1.))
print(grad(f)(-1.))

2.0
3.0

使用 `jax.custom_vjp` 定义自定义的仅限反向模式的规则#

虽然 jax.custom_jvp 足以控制前向模式和通过 JAX 的自动转置控制反向模式微分行为，但在某些情况下，我们可能希望直接控制 VJP 规则，例如在上面提出的后两个示例问题中。我们可以使用 jax.custom_vjp 来做到这一点

from jax import custom_vjp
import jax.numpy as jnp

# f :: a -> b
@custom_vjp
def f(x):
  return jnp.sin(x)

# f_fwd :: a -> (b, c)
def f_fwd(x):
  return f(x), jnp.cos(x)

# f_bwd :: (c, CT b) -> CT a
def f_bwd(cos_x, y_bar):
  return (cos_x * y_bar,)

f.defvjp(f_fwd, f_bwd)

from jax import grad

print(f(3.))
print(grad(f)(3.))

0.14112
-0.9899925

换句话说，我们再次从一个原始函数 f 开始，该函数接受类型为 a 的输入并产生类型为 b 的输出。我们将其与两个函数 f_fwd 和 f_bwd 相关联，这两个函数描述了如何分别执行反向模式自动微分的前向和后向传递。

函数 f_fwd 描述了前向传递，不仅是原始计算，还描述了要保存哪些值以在后向传递中使用。它的输入签名与原始函数 f 的输入签名相同，因为它接受类型为 a 的原始输入。但是作为输出，它产生一个对，其中第一个元素是原始输出 b，第二个元素是要存储以供后向传递使用的类型为 c 的任何“残差”数据。（第二个输出类似于PyTorch 的 save_for_backward 机制。）

函数 f_bwd 描述了后向传递。它接受两个输入，其中第一个输入是由 f_fwd 生成的类型为 c 的残差数据，第二个输入是与原始函数的输出对应的类型为 CT b 的输出余切。它产生一个类型为 CT a 的输出，表示与原始函数的输入对应的余切。特别是，f_bwd 的输出必须是与原始函数的参数数量相等的序列（例如，元组）。

所以多个参数的工作方式如下

from jax import custom_vjp

@custom_vjp
def f(x, y):
  return jnp.sin(x) * y

def f_fwd(x, y):
  return f(x, y), (jnp.cos(x), jnp.sin(x), y)

def f_bwd(res, g):
  cos_x, sin_x, y = res
  return (cos_x * g * y, sin_x * g)

f.defvjp(f_fwd, f_bwd)

print(grad(f)(2., 3.))

-1.2484405

调用带有关键字参数的 jax.custom_vjp 函数，或者使用默认参数编写 jax.custom_vjp 函数定义，只要它们可以根据标准库 inspect.signature 机制检索的函数签名明确映射到位置参数，都是允许的。

与 jax.custom_jvp 一样，如果未应用微分，则不会调用由 f_fwd 和 f_bwd 组成的自定义 VJP 规则。如果函数被评估或使用 jit、vmap 或其他非微分变换进行转换，则仅调用 f。

@custom_vjp
def f(x):
  print("called f!")
  return jnp.sin(x)

def f_fwd(x):
  print("called f_fwd!")
  return f(x), jnp.cos(x)

def f_bwd(cos_x, y_bar):
  print("called f_bwd!")
  return (cos_x * y_bar,)

f.defvjp(f_fwd, f_bwd)

print(f(3.))

called f!
0.14112

print(grad(f)(3.))

called f_fwd!
called f!
called f_bwd!
-0.9899925

y, f_vjp = vjp(f, 3.)
print(y)

called f_fwd!
called f!
0.14112

print(f_vjp(1.))

called f_bwd!
(Array(-0.9899925, dtype=float32, weak_type=True),)

前向模式自动微分不能用于 jax.custom_vjp 函数， 并且会引发错误

from jax import jvp

try:
  jvp(f, (3.,), (1.,))
except TypeError as e:
  print('ERROR! {}'.format(e))

called f_fwd!
called f!
ERROR! can't apply forward-mode autodiff (jvp) to a custom_vjp function.

如果要同时使用前向和反向模式，请改用 jax.custom_jvp。

我们可以将 jax.custom_vjp 与 pdb 一起使用，以在后向传递中插入调试器跟踪

import pdb

@custom_vjp
def debug(x):
  return x  # acts like identity

def debug_fwd(x):
  return x, x

def debug_bwd(x, g):
  pdb.set_trace()
  return g

debug.defvjp(debug_fwd, debug_bwd)

def foo(x):
  y = x ** 2
  y = debug(y)  # insert pdb in corresponding backward pass step
  return jnp.sin(y)

jax.grad(foo)(3.)

> <ipython-input-113-b19a2dc1abf7>(12)debug_bwd()
-> return g
(Pdb) p x
Array(9., dtype=float32)
(Pdb) p g
Array(-0.91113025, dtype=float32)
(Pdb) q

自定义导数规则

目录

自定义导数规则#

摘要#

使用 `jax.custom_jvp` 的自定义 JVP#

使用 `jax.custom_vjp` 的自定义 VJP#

示例问题#

数值稳定性#

强制微分约定#

梯度裁剪#

Python 调试#

迭代实现的隐函数微分#

`jax.custom_jvp` 和 `jax.custom_vjp` API 的基本用法#

使用 `jax.custom_jvp` 定义前向模式（以及间接的反向模式）规则#

使用 `jax.custom_vjp` 定义自定义的仅限反向模式的规则#

更多功能和细节#

使用 `list` / `tuple` / `dict` 容器（以及其他 pytrees）#

处理不可微分的参数#

使用 `nondiff_argnums` 的 `jax.custom_jvp`#

使用 `nondiff_argnums` 的 `jax.custom_vjp`#

自定义导数规则

目录

自定义导数规则#

摘要#

使用 jax.custom_jvp 的自定义 JVP#

使用 jax.custom_vjp 的自定义 VJP#

示例问题#

数值稳定性#

强制微分约定#

梯度裁剪#

Python 调试#

迭代实现的隐函数微分#

jax.custom_jvp 和 jax.custom_vjp API 的基本用法#

使用 jax.custom_jvp 定义前向模式（以及间接的反向模式）规则#

使用 jax.custom_vjp 定义自定义的仅限反向模式的规则#

更多功能和细节#

使用 list / tuple / dict 容器（以及其他 pytrees）#

处理不可微分的参数#

使用 nondiff_argnums 的 jax.custom_jvp#

使用 nondiff_argnums 的 jax.custom_vjp#

使用 `jax.custom_jvp` 的自定义 JVP#

使用 `jax.custom_vjp` 的自定义 VJP#

`jax.custom_jvp` 和 `jax.custom_vjp` API 的基本用法#

使用 `jax.custom_jvp` 定义前向模式（以及间接的反向模式）规则#

使用 `jax.custom_vjp` 定义自定义的仅限反向模式的规则#

使用 `list` / `tuple` / `dict` 容器（以及其他 pytrees）#

使用 `nondiff_argnums` 的 `jax.custom_jvp`#

使用 `nondiff_argnums` 的 `jax.custom_vjp`#