JAX 内部：jaxpr 语言

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JAX 内部：jaxpr 语言#

Jaxprs 是 JAX 的内部程序中间表示 (IR)。它们是显式类型化的、函数式的、一阶的，并且处于代数范式 (ANF)。

从概念上讲，可以将 JAX 转换（例如 jax.jit() 或 jax.grad()）视为首先将要转换的 Python 函数跟踪专业化为一个小型且行为良好的中间形式，然后使用特定于转换的解释规则来解释该形式。

JAX 能够将如此强大的功能封装在一个如此小的软件包中的原因之一是，它从一个熟悉且灵活的编程接口（带有 NumPy 的 Python）开始，并且它使用实际的 Python 解释器来完成大部分繁重的工作，以将计算的本质提炼成一个简单的静态类型表达式语言，该语言具有有限的高阶功能。

该语言就是 jaxpr 语言。jaxpr 术语语法如下所示

jaxpr ::=
  { lambda <binder> , ... .
    let <eqn>
        ...
    in ( <atom> , ... ) }

binder ::= <var>:<array_type>
var ::= a | b | c | ...
atom ::= <var> | <literal>
literal ::= <int32> | <int64> | <float32> | <float64>

eqn ::= <binder> , ... = <primitive> [ <params> ] <atom> , ...

并非所有 Python 程序都能以这种方式处理，但事实证明，许多科学计算和机器学习程序可以。

在继续之前，请记住，并非所有 JAX 变换都会像上面描述的那样实际生成 jaxpr。其中一些，例如微分或批处理，将在跟踪过程中增量地应用变换。尽管如此，如果想了解 JAX 在内部的工作原理，或利用 JAX 跟踪的结果，那么理解 jaxprs 很有用。

`jax.core.ClosedJaxpr`#

一个 jaxpr 实例表示一个具有一个或多个类型化参数（输入变量）和一个或多个类型化结果的函数。结果仅取决于输入变量；没有从封闭作用域捕获的自由变量。输入和输出具有类型，在 JAX 中表示为抽象值。

代码中存在两种与 jaxprs 相关的表示形式，jax.core.Jaxpr 和 jax.core.ClosedJaxpr。一个 jax.core.ClosedJaxpr 表示一个部分应用的 jax.core.Jaxpr，当你使用 jax.make_jaxpr() 检查 jaxprs 时就会获得它。它具有以下字段

jaxpr: 是一个 jax.core.Jaxpr，表示函数的实际计算内容（下面描述）。
consts 是一个常量列表。

ClosedJaxpr 最有趣的部分是实际的执行内容，表示为一个 jax.core.Jaxpr，使用以下语法打印

jaxpr ::= { lambda Var* ; Var+.
            let Eqn*
            in  [Expr+] }

其中

jaxpr 的参数显示为两个变量列表，用 ; 分隔。
- 第一组变量是用来表示已提升的常量的变量。这些被称为 constvars，在 jax.core.ClosedJaxpr 中，consts 字段保存相应的数值。
- 第二组变量，称为 invars，对应于跟踪的 Python 函数的输入。
Eqn* 是一个方程列表，定义引用中间表达式的中间变量。每个方程都将一个或多个变量定义为在某些原子表达式上应用原语的结果。每个方程仅使用输入变量和由先前方程定义的中间变量。
Expr+: 是 jaxpr 的输出原子表达式（字面量或变量）列表。

方程以如下方式打印

Eqn  ::= let Var+ = Primitive [ Param* ] Expr+

其中

Var+ 是一个或多个中间变量，定义为原语调用的输出（一些原语可以返回多个值）。
Expr+ 是一个或多个原子表达式，每个表达式要么是变量，要么是字面量常量。一个特殊的变量 unitvar 或字面量 unit，打印为 *，表示在后续计算中不需要的值，已被省略。也就是说，单位只是占位符。
Param* 是原语的零个或多个命名参数，在方括号中打印。每个参数都显示为 Name = Value。

大多数 jaxpr 原语都是一阶的（它们只接受一个或多个 Expr 作为参数）

Primitive := add | sub | sin | mul | ...

最常见的 jaxpr 原语在 jax.lax 模块中记录。

例如，以下是在函数 func1 下面生成的 jaxpr

from jax import make_jaxpr
import jax.numpy as jnp

def func1(first, second):
   temp = first + jnp.sin(second) * 3.
   return jnp.sum(temp)

print(make_jaxpr(func1)(jnp.zeros(8), jnp.ones(8)))

{ lambda ; a:f32[8] b:f32[8]. let
    c:f32[8] = sin b
    d:f32[8] = mul c 3.0
    e:f32[8] = add a d
    f:f32[] = reduce_sum[axes=(0,)] e
  in (f,) }

这里没有 constvars，a 和 b 是输入变量，它们分别对应于 first 和 second 函数参数。标量字面量 3.0 保持内联。reduce_sum 原语除了操作数 e 外，还有命名参数 axes 和 input_shape。

请注意，即使调用 JAX 的程序的执行会构建 jaxpr，Python 级别的控制流和 Python 级别的函数也会正常执行。这意味着，仅仅因为 Python 程序包含函数和控制流，生成的 jaxpr 不必包含控制流或高阶特性。

例如，在跟踪函数 func3 时，JAX 会内联对 inner 的调用和条件 if second.shape[0] > 4，并将生成与之前相同的 jaxpr

def func2(inner, first, second):
  temp = first + inner(second) * 3.
  return jnp.sum(temp)

def inner(second):
  if second.shape[0] > 4:
    return jnp.sin(second)
  else:
    assert False

def func3(first, second):
  return func2(inner, first, second)

print(make_jaxpr(func3)(jnp.zeros(8), jnp.ones(8)))

{ lambda ; a:f32[8] b:f32[8]. let
    c:f32[8] = sin b
    d:f32[8] = mul c 3.0
    e:f32[8] = add a d
    f:f32[] = reduce_sum[axes=(0,)] e
  in (f,) }

处理 pytrees#

在 jaxpr 中没有元组类型；而是原语接受多个输入并产生多个输出。在处理具有结构化输入或输出的函数时，JAX 会将它们展平，在 jaxpr 中它们将显示为输入和输出列表。有关更多详细信息，请参阅 Pytrees 教程。

例如，以下代码生成的 jaxpr 与您之前看到的相同（有两个输入变量，每个输入元组元素一个）

def func4(arg):  # The `arg` is a pair.
  temp = arg[0] + jnp.sin(arg[1]) * 3.
  return jnp.sum(temp)

print(make_jaxpr(func4)((jnp.zeros(8), jnp.ones(8))))

{ lambda ; a:f32[8] b:f32[8]. let
    c:f32[8] = sin b
    d:f32[8] = mul c 3.0
    e:f32[8] = add a d
    f:f32[] = reduce_sum[axes=(0,)] e
  in (f,) }

常量变量（vars）#

jaxprs 中的一些值是常量，因为它们的值不依赖于 jaxpr 的参数。当这些值是标量时，它们直接在 jaxpr 方程中表示。非标量数组常量则提升到顶级 jaxpr，在那里它们对应于常量变量（“constvars”）。这些 constvars 仅作为记账约定与其他 jaxpr 参数（“invars”）不同。

高阶 JAX 原语#

Jaxpr 包含几个高阶 JAX 原语。它们比较复杂，因为它们包含子 jaxprs。

`cond` 原语（条件句）#

JAX 通过普通的 Python 条件句进行跟踪。要捕获用于动态执行的条件表达式，必须使用 jax.lax.switch() 和 jax.lax.cond() 构造函数，它们的签名为

lax.switch(index: int, branches: Sequence[A -> B], operand: A) -> B

lax.cond(pred: bool, true_body: A -> B, false_body: A -> B, operand: A) -> B

这两个函数都会在内部绑定一个名为 cond 的原语。jaxprs 中的 cond 原语反映了 lax.switch() 的更通用签名：它接受一个整数，表示要执行的分支的索引（限制在有效索引范围内）。

例如

from jax import lax

def one_of_three(index, arg):
  return lax.switch(index, [lambda x: x + 1.,
                            lambda x: x - 2.,
                            lambda x: x + 3.],
                    arg)

print(make_jaxpr(one_of_three)(1, 5.))

{ lambda ; a:i32[] b:f32[]. let
    c:i32[] = convert_element_type[new_dtype=int32 weak_type=False] a
    d:i32[] = clamp 0 c 2
    e:f32[] = cond[
      branches=(
        { lambda ; f:f32[]. let g:f32[] = add f 1.0 in (g,) }
        { lambda ; h:f32[]. let i:f32[] = sub h 2.0 in (i,) }
        { lambda ; j:f32[]. let k:f32[] = add j 3.0 in (k,) }
      )
    ] d b
  in (e,) }

cond 原语具有一些参数

branches 是对应于分支函数的 jaxprs。在本例中，这些函数都接受一个输入变量，对应于 x。
linear 是一个布尔值元组，在自动微分机制中用于内部编码哪些输入参数在线性条件中使用。

上述 cond 原语实例接受两个操作数。第一个（d）是分支索引，然后 b 是要传递给 branches 中由分支索引选择的任何 jaxpr 的操作数（arg）。

另一个例子，使用 jax.lax.cond()

from jax import lax

def func7(arg):
  return lax.cond(arg >= 0.,
                  lambda xtrue: xtrue + 3.,
                  lambda xfalse: xfalse - 3.,
                  arg)

print(make_jaxpr(func7)(5.))

{ lambda ; a:f32[]. let
    b:bool[] = ge a 0.0
    c:i32[] = convert_element_type[new_dtype=int32 weak_type=False] b
    d:f32[] = cond[
      branches=(
        { lambda ; e:f32[]. let f:f32[] = sub e 3.0 in (f,) }
        { lambda ; g:f32[]. let h:f32[] = add g 3.0 in (h,) }
      )
    ] c a
  in (d,) }

在这种情况下，布尔谓词被转换为整数索引（0 或 1），而 branches 是对应于 false 和 true 分支函数的 jaxprs，按此顺序。同样，每个函数都接受一个输入变量，分别对应于 xfalse 和 xtrue。

以下示例显示了一种更复杂的情况，其中分支函数的输入是元组，而 false 分支函数包含一个常量 jnp.ones(1)，该常量被提升为 constvar。

def func8(arg1, arg2):  # Where `arg2` is a pair.
  return lax.cond(arg1 >= 0.,
                  lambda xtrue: xtrue[0],
                  lambda xfalse: jnp.array([1]) + xfalse[1],
                  arg2)

print(make_jaxpr(func8)(5., (jnp.zeros(1), 2.)))

{ lambda a:i32[1]; b:f32[] c:f32[1] d:f32[]. let
    e:bool[] = ge b 0.0
    f:i32[] = convert_element_type[new_dtype=int32 weak_type=False] e
    g:f32[1] = cond[
      branches=(
        { lambda ; h:i32[1] i:f32[1] j:f32[]. let
            k:f32[1] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=True] h
            l:f32[1] = add k j
          in (l,) }
        { lambda ; m_:i32[1] n:f32[1] o:f32[]. let  in (n,) }
      )
    ] f a c d
  in (g,) }

`while` 原语#

与条件句一样，Python 循环在跟踪期间会内联。如果要捕获用于动态执行的循环，必须使用几个特殊操作之一，jax.lax.while_loop()（一个原语）和 jax.lax.fori_loop()（一个生成 while_loop 原语的助手）

lax.while_loop(cond_fun: (C -> bool), body_fun: (C -> C), init: C) -> C
lax.fori_loop(start: int, end: int, body: (int -> C -> C), init: C) -> C

在上面的签名中，C 代表循环“进位”值的类型。例如，以下是一个 fori_loop 的示例

import numpy as np

def func10(arg, n):
  ones = jnp.ones(arg.shape)  # A constant.
  return lax.fori_loop(0, n,
                       lambda i, carry: carry + ones * 3. + arg,
                       arg + ones)

print(make_jaxpr(func10)(np.ones(16), 5))

{ lambda ; a:f32[16] b:i32[]. let
    c:f32[16] = broadcast_in_dim[broadcast_dimensions=() shape=(16,)] 1.0
    d:f32[16] = add a c
    _:i32[] _:i32[] e:f32[16] = while[
      body_jaxpr={ lambda ; f:f32[16] g:f32[16] h:i32[] i:i32[] j:f32[16]. let
          k:i32[] = add h 1
          l:f32[16] = mul f 3.0
          m:f32[16] = add j l
          n:f32[16] = add m g
        in (k, i, n) }
      body_nconsts=2
      cond_jaxpr={ lambda ; o:i32[] p:i32[] q:f32[16]. let
          r:bool[] = lt o p
        in (r,) }
      cond_nconsts=0
    ] c a 0 b d
  in (e,) }

The while 原语接受 5 个参数：c a 0 b d，如下所示

0 个常量用于 cond_jaxpr（因为 cond_nconsts 为 0）
2 个常量用于 body_jaxpr (c 和 a)
3 个参数用于进位的初始值

`scan` 原语#

JAX 支持一种特殊形式的循环，用于遍历数组的元素（具有静态已知形状）。迭代次数固定这一事实使得这种形式的循环易于反向微分。此类循环由 jax.lax.scan() 函数构建

lax.scan(body_fun: (C -> A -> (C, B)), init_carry: C, in_arr: Array[A]) -> (C, Array[B])

这用 Haskell 类型签名编写：C 是 scan 进位的类型，A 是输入数组的元素类型，B 是输出数组的元素类型。

对于示例，考虑以下 func11 函数

def func11(arr, extra):
  ones = jnp.ones(arr.shape)  #  A constant
  def body(carry, aelems):
    # carry: running dot-product of the two arrays
    # aelems: a pair with corresponding elements from the two arrays
    ae1, ae2 = aelems
    return (carry + ae1 * ae2 + extra, carry)
  return lax.scan(body, 0., (arr, ones))

print(make_jaxpr(func11)(np.ones(16), 5.))

{ lambda ; a:f32[16] b:f32[]. let
    c:f32[16] = broadcast_in_dim[broadcast_dimensions=() shape=(16,)] 1.0
    d:f32[] e:f32[16] = scan[
      _split_transpose=False
      jaxpr={ lambda ; f:f32[] g:f32[] h:f32[] i:f32[]. let
          j:f32[] = mul h i
          k:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] g
          l:f32[] = add k j
          m:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] f
          n:f32[] = add l m
        in (n, g) }
      length=16
      linear=(False, False, False, False)
      num_carry=1
      num_consts=1
      reverse=False
      unroll=1
    ] b 0.0 a c
  in (d, e) }

The linear 参数描述了每个输入变量是否在主体中保证线性使用。一旦 scan 完成线性化，更多参数将成为线性的。

The scan 原语接受 4 个参数：b 0.0 a c，其中

一个是主体中的自由变量
一个是进位的初始值
接下来的 2 个是扫描操作的数组

`(p)jit` 原语#

调用原语源于 JIT 编译，它封装了一个子 jaxpr 以及指定后端和计算应运行的设备的参数。例如

from jax import jit

def func12(arg):
  @jit
  def inner(x):
    return x + arg * jnp.ones(1)  # Include a constant in the inner function.
  return arg + inner(arg - 2.)

print(make_jaxpr(func12)(1.))

{ lambda ; a:f32[]. let
    b:f32[] = sub a 2.0
    c:f32[1] = pjit[
      name=inner
      jaxpr={ lambda ; d:f32[] e:f32[]. let
          f:f32[1] = broadcast_in_dim[broadcast_dimensions=() shape=(1,)] 1.0
          g:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] d
          h:f32[1] = mul g f
          i:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] e
          j:f32[1] = add i h
        in (j,) }
    ] a b
    k:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] a
    l:f32[1] = add k c
  in (l,) }

JAX 内部：jaxpr 语言

内容

JAX 内部：jaxpr 语言#

jax.core.ClosedJaxpr#

处理 pytrees#

常量变量（vars）#

高阶 JAX 原语#

cond 原语（条件句）#

while 原语#

scan 原语#

(p)jit 原语#

`jax.core.ClosedJaxpr`#

`cond` 原语（条件句）#

`while` 原语#

`scan` 原语#

`(p)jit` 原语#